Как мы далее убедимся, в разных науках принят разный канон обоснования своих утверждений. По моему мнению, это различие наиболее существенно, именно оно, прежде всего, и порождает существование принципиально разных наук. Разумеется, я не претендую на полное описание всех методологических принципов построения разных наук, но всё-таки предлагаю рассмотреть, какие правила сложились в математических, эмпирических, гуманитарных и практических науках. А уж затем сравним их с теми правилами игры, которые созданы для естественных наук.
Практически во всех науках не рекомендуется строить противоречивые высказывания. Даже религиозные мыслители пытаются интерпретировать неоднозначные тексты священных писаний так, чтобы избавиться от явных противоречий. Однако только в науках логико-математического круга требование непротиворечивости является абсолютно обязательным и практически единственным. В этих науках вводится некий набор терминов, а затем произвольным образом задается структура операций с этими терминами. Только те из структур признаются корректными, которые при любых заданных операциях не смогут привести к противоречию. На заре истории, правда, правила построения математических структур вырастали из мистического представления о самоочевидности этих правил. Действительно, если А=В и В=С, то неизбежно (как говорили древние: аподиктически, т.е. "с непреложной очевидностью") следует принять, что А=С (аксиома транзитивности). Даже сегодня замечательный современный философ утверждает, что "элементарные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с абсолютной непреложностью", что исходные математические идеализации не выдумываются, не извлекаются из опыта, а являются изначально заданной "формой мышления".[319] Всё же, однако, в процессе истории многие непреложные истины были подвергнуты сомнению.
Приведу простое рассуждение, оспаривающее, например, аксиому транзитивности. Пусть интенсивность раздражителя А меньше интенсивности раздражителя В на величину, наполовину меньше порога различения. Интенсивности этих раздражителей, тем самым, субъективно не отличаются друг от друга, т.е. А=В. Пусть интенсивность раздражителя В, в свою очередь, на ту же величину меньше интенсивности раздражителя С. Соответственно, субъективно и В=С. Но при этом различие между А и С достигает пороговой величины, следовательно, эти раздражители воспринимаются как субъективно неравные, т.е. А<С. Значит, аксиома транзитивности не всегда верна. В чем же тогда непреложность очевидности этой аксиомы? Предвижу возражение: в примере речь идет о субъективном равенстве, а аксиома, мол, говорит о равенстве объективном. Отвечаю вслед за Гераклитом и Платоном: объективного равенства вообще нет в природе. Даже в одну и ту же реку нельзя войти дважды. Если говорят, что А=В, то это, очевидно, означает лишь субъективное приравнивание друг к другу двух разных А и В – ведь А и по обозначению, и по сути изначально не есть В. (Если сказанного недостаточно, то желающие могут посмотреть, как об этом весьма пространно рассуждает Гегель).
Еще один пример неочевидности того, что было «непреложно очевидно» древним. В школе вслед за античными геометрами нас учили доказывать теоремы от противного. Допустим, говорили мы, что доказываемая теорема неверна. Если в результате этого предположения мы приходим к противоречию, то, следовательно, верно обратное: доказываемая теорема верна. Подобное рассуждение опирается на закон исключенного третьего: верно или А, или не-А, третьего не дано (tertium non datur). Казалось бы, это тоже очевидно. Однако рассмотрим пример. Возьмем пары идущих подряд простых чисел, разница между которыми равна двум (например, 3 и 5, 11 и 13, 17 и 19 и т.д.). Число таких пар в бесконечном ряду натуральных чисел или конечно, или бесконечно. Третьего, вроде бы, не дано. Поэтому мы имеем полное право определить число Z следующим образом: Z=0, если число таких пар конечно; Z=1, если число таких пар бесконечно. Все корректно, оба возможных варианта рассмотрены, следовательно, Z однозначно определено. Но чему же оно равно? Не знаем. Потому что мы не знаем, конечен ли набор рассматриваемых пар. Но, значит, говорят сторонники математического интуиционизма, закон исключенного третьего не всегда верен. Стоит принять иной закон: или А, или не-А, или третье – не знаем. Но отсюда следует: доказательства от противного не всегда возможны.[320] Не ставлю здесь задачу обсуждать интуиционистскую логику. Мне важно лишь поставить вопрос: разве столь уж однозначно (аподиктически) очевиден закон исключенного третьего?
Математика исторически появляется в рамках мистического познания, когда посвященные начинают дарить своим ученикам свет Истины. Они учат их выводить из заведомо очевидных, а, следовательно, Истинных высказываний (аксиом) по заведомо очевидным Истинным правилам вывода новое Истинное знание и, тем самым, описывают, как они полагают, Истинную гармонию мира. Не случайно математика и музыка оказываются отождествленными в головах античных ученых, да и в некоторых современных тоже.[321] Неожиданно выясняется, что полученный в итоге результат может и не обладать свойством очевидности. Пифагорейцы, например, были потрясены идеей иррациональных чисел. Существование таких чисел заранее ими никак не предполагалось, они казались невероятными. Потому и знакомство с теоремой Пифагора было даровано только посвященным. Однако мудрые греки, несмотря даже на субъективную непредставимость иррациональности, признали эти числа истинными.
Так родилась норма: если все преобразования делать правильно, то и независимый от осуществляющего их мудреца результат преобразований будет правильным, даже если он будет казаться непонятным. Архимед был потрясен тем, что объём шара, вписанного в цилиндр, в точности равен 2/3 объёма цилиндра. Разве можно было об этом догадаться? Ошеломленный Архимед даже завещал поставить эти фигуры на свою могилу – как говорят, это и было выполнено римлянами, правда, после того, как во время штурма Сиракуз они убили великого математика.[322] А вот, например, оригинальный результат, полученный Л. Эйлером: сумма ряда +1–1+1–1+1–1+1–1…= 1/2 (для доказательства надо было увидеть, что ряд представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член ряда получается умножением предыдущего на –1). Этот результат выглядит совсем непонятным?[323] Что ж, чем субъективно неожиданнее, тем интереснее. Так появляется специфическая интеллектуальная игра (интереснее шахмат и Олимпийских игр), победителем в которой выступает тот, кто раньше других обнаружит неведомое. Считается, что Фалес был первым, кто превратил математику (геометрию) в такую игру. А. Шопенгауэр в какой-то мере был прав, когда назвал геометрическое доказательство мышеловкой.[324]
Отход математики от мистического обоснования с помощью требования субъективной очевидности всех проводимых операций протекал долго и болезненно. Лишь в XIX в. стало появляться предчувствие, что единственно Истинных аксиом и несомненно достоверных Истинных правил вывода вообще не существует. Но тогда в принципе можно придумывать любые аксиомы и создавать любые правила игры. Создание новых логических и математических структур – это есть лишь создание правил новых математических игр, где одни признанные аксиоматически правильными высказывания преобразуются в другие. Математика сродни мифотворчеству, – утверждал великий математик ХХ в. Г. Вейль.[325] «Аксиомы, – признавался А. Эйнштейн, – свободные творения человеческого разума». Важно лишь, чтобы и аксиомы, и правила для самих играющих были однозначны и не приводили в итоге к противоречию. Ведь если один игрок играет по одним правилам, а другой – по другим, или если один игрок одновременно должен делать два разных, не совместимых друг с другом действия, то игры не получится. Играющий в преферанс в принципе не способен выиграть у человека, играющего в этот момент в подкидного дурака, в шашки или в биллиард. Нельзя ни назвать какую-либо одну из игр верной, ни оценить, кто из игроков, играющих в разные игры, играет лучше. Так и в логико-математических науках – оценке подлежит только одно: может ли данное высказывание быть получено из заданной системы аксиом путем тавтологических преобразований (т.е. преобразований по заданным правилам) самих этих аксиом. В этих науках нет и не может быть критерия оценки истинности высказывания как достоверного высказывания об окружающем мире, есть только критерий оценки правильности, корректности высказывания.
319
Перминов В.Я Априорность и реальная значимость исходных представлений математики. // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб., 1999, с.86-91.
321
Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики. // Лосев А.Ф. Форма, стиль, выражение. М., 1995, с.405-602.