Совершенно очевидно, что следует выбрать карточку Р(D1/Н2), поскольку таким образом получается по крайней мере одно полное отношение правдоподобия — процент машин марки А, потребляющих один литр бензина на 25 км в сравнении с процентом машин марки В, потребляющих один литр бензина на 25 км. Если эти проценты отличаются друг от друга, то это поможет сделать предположение о марке машины, так как Вы наверняка знаете, что автомобиль сестры потребляет именно столько бензина.
Хотя выбор и выглядит очевидным, более 60% опрошенных выбрали Р(D2/Н1) — процент машин марки А, не имеющих проблем с механикой. Однако эта информация является абсолютно бесполезной, поскольку по условию, если Вы выбрали Р(D2/Н1), то Вы не можете выбрать Р(D2/Н2) и узнать, как обстоят дела с механикой у машин марки В, а без этого не получится отношение правдоподобия.
Теперь предположим, что Вы врач и получили следующие сведения об эффективности лечения препаратом Е (Groopman, J. How doctors think. Boston: Houghton Mifflin, 2007).
Выздоровевшие больные
Не выздоровевшие больные
Больные, принимавшие препарат Е
200
75
Больные, не принимавшие препарат Е
50
15
Двести человек принимали препарат Е и он им помог, для 75 он был бесполезен. 50 человек не принимали препарат Е и выздоровели, 15 человек не принимали препарат и остались больны. Вы должны решить, будете ли Вы использовать препарат Е в своей практике.
Большинство людей (что особенно важно подчеркнуть — врачей) считают, что препарат Е эффективен и его следует применять. Они явно впечатлены большим количеством больных, принимавших препарат Е. Далее, они фокусируются на том, что количество выздоровевших с помощью препарата Е (200) существенно больше количества тех, кому он не помог (75). Ввиду того, что эта вероятность высока (200 / 275 = 0,727), опрошенные совершают ошибку рационального мышления, считая препарат Е действенным лекарством.
Практически все игнорируют данные больных, не принимавших препарат Е. Однако вероятность в данном случае ещё выше (50 / 65 = 0,769). Из этого следует, что препарат Е абсолютно неэффективен!
Особую проблему для эпистемологической рациональности представляет принятие решения на основе условной вероятности, то есть вероятности появления события А при условии, что событие В произошло. Основное заблуждение состоит в том, что многое предполагают, что вероятность появления события А при условии, что событие В произошло та же самая, что и вероятность появления события В при условии, что событие А произошло. Это не так, но люди не замечают этого. Иногда контекст помогает избавиться от этого заблуждения. Очевидно, что вероятность беременности при условии наличия сексуальных контактов не равна вероятности сексуальных контактов при обнаружении беременности. Но контекст помогает не всегда.
Как Вы помните, условная вероятность для событий А и В записывается следующим образом:
Р(A/В) = Р(A и В)/Р(В)
Р(В/А) = Р(A и В)/Р(А)
В частности, если событие А, зависящее от события В, существенно более вероятно, чем событие В, то Р(A/В) существенно больше, чем Р(В/А). Рассмотрим, например, данные американской статистики потребления наркотиков (Dawes, R. M. Rational choice in an uncertain world. San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1988). Широко распространено мнение, что курение марихуаны ведёт к дальнейшему потреблению тяжёлых наркотиков. Основанием является тот факт, что люди, принимающие тяжёлые наркотики, по большей части курили до этого марихуану. Однако большинство куривших когда-либо марихуану не принимают тяжёлых наркотиков. Условная вероятность события «курить марихуану» существенно больше условной вероятности события «принимать тяжёлые наркотики», или Р(курить марихуану/принимать тяжёлые наркотики) существенно больше, нежели Р(принимать тяжёлые наркотики/курить марихуану). Вот данные исследования студентов.
Принимают тяжёлые наркотики
Не принимают тяжёлые наркотики
Курили марихуану
50
950
Не курили марихуану
10
2000
Очень небольшое количество студентов (60 из 3010, то есть менее чем 2%) принимают тяжёлые наркотики, однако 33% студентов курили марихуану. Вероятность того, что принимающие тяжёлые наркотики курили до этого марихуану, высока:
Р(курить марихуану/принимать тяжёлые наркотики) = 50/60 = 0,83
Тем не менее, вероятность того, что курившие марихуану будут затем принимать тяжёлые наркотики, достаточно низка:
Р(принимать тяжёлые наркотики/курить марихуану) = 50/1000 = 0,05
Как мы видим, распространённые мнения не всегда соответствуют реальности. Однако неправильное понимание условной вероятности может быть гораздо более драматичным (Stanovich, Keith E. Decision Making and Rationality in the Modern World. New York, Oxford. Oxford University Press. 2010). Большинство больных и, что более существенно, большинство врачей считают, что вероятность наличия болезни при появлении определённого симптома равна вероятности появления этого симптома при наличии той же самой болезни.
Предположим, что Вы сделали тест на раковое заболевания и тест был положительным. Далее Вы узнаёте, что тест точно диагностицирует 90% случаев из 100, то есть, в 90 случаев из ста, когда тест даёт положительный результат, человек наверняка болен раком. Наверняка полученное известие Вас не обрадует, мягко говоря. Но вероятность того, что Вы действительно больны раком, составляет примерно 15%! Как такое может быть при девяностопроцентной точности теста? Разберёмся в этом вопросе подробнее.
Предположим, что в исследовании, на котором базируется этот тест, приняли участие 1000 человек, и 100 из них были больны раком. Тогда результаты выглядит следующим образом:
Больны раком
Не больны раком
Тест позитивный
90
500
Тест негативный
10
400
Вы видите, как работает тест с 90% надёжностью — из ста больных раком положительные результаты получили 90 человек. Однако не эти данные важны для Вас. 90% показывают вероятность для тех, кто болен раком Р(позитивный результат/рак). Для Вас интересна другая вероятность Р(рак/позитивный результат) — вероятность того, что тест показал позитивный результат у не больных раком. Эта вероятность достаточно мала — 90 / 590 = 15,3.
К сожалению, подобные случаи нередки в реальной врачебной практике, в результате — ненужная мастэктомия или другие операции, химиотерапия и т. п. Что это означает для больного…
Очень часто в жизни независимые события воспринимаются как зависимые. Представьте себе, что мы подбрасываем монету. Как Вы знаете, вероятность выпадения орла или решки равна 0,5. Мы подбросили монету уже пять раз и все пять раз выпадал орёл. Мы подбрасываем монету в шестой раз и Вы думаете:
а. вероятность выпадения орла больше, чем вероятность выпадения решки;
в. вероятность выпадения решки больше, чем вероятность выпадения орла;
с. вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки;
Какой ответ выбрали Вы?
«Однорукие бандиты» — игральные автоматы — позволяют выигрывать игроку примерно один раз из десяти. Митрофан сыграл всего три раза и все три выиграл. Каковы шансы Митрофана выиграть четвёртый раз подряд?
Обе эти задачи относятся к так называемому «заблуждению игрока». Особенно наглядно оно проявляется при игре в рулетку. Если предположить для простоты, что половина номеров на игорном столе чёрная, а половина — красная, то вероятность выпадения красного или чёрного равна 0,5. Тем не менее, сознайтесь себе, будете ли Вы ставить на красное, если оно уже выпадало десять раз подряд? Большинство в этой ситуации предпочитают переключиться на чёрное. Но ведь вероятность не изменилась, она по-прежнему равна 0,5! Предыдущие выпадения красного никак не влияют на вероятность выпадения красного или чёрного в следующий раз.
Это и есть «заблуждению игрока» - предполагать, что независимые события влияют друг на друга. Точно так же, как если бы Вы подумали, что вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты больше — правильный ответ: вероятности равны. То же самое относится и к проблеме Митрофана — его шансы были и остались на том же уровне: 0,1.