— х — = +.
Это правило было установлено для того, чтобы сохранить согласованность умножения для целых отрицательных чисел, и возникло вследствие желания сохранить для таких чисел дистрибутивность умножения. Дистрибутивность операции означает, что для любых трех чисел а, b и с выполняется равенство:
а·(Ь + с) = а·b + а·с.
* * *
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
На множестве С, на котором определены две бинарные операции, обозначаемые знаками + и ·, эти операции обладают следующими свойствами:
• коммутативность: a + b = b + a;
a·b = b·a;
• ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c);
а·(Ь·с) = (а·Ь)·с;
• дистрибутивность операции · относительно +: а·(Ь + с) = a·Ь + а·с.
* * *
Таким образом, желательно, чтобы это равенство выполнялось и для a = —1, b = 1 и с = —1:
— 1·(1–1) = -1·1 + (-1)·(-1) = -1 + (-1)·(-1);
— 1·(1–1) = -1·0 = 0.
Следовательно, должно выполняться равенство
— 1 + (-1)·(-1) = 0 => (-1)·(-1) = + 1.
Математики долгое время не могли понять, что правило знаков наряду с другими определениями, описывающими целые и дробные числа, нельзя доказать. Мы создаем эти правила и определения, чтобы получить свободу действий при соблюдении фундаментальных законов арифметики. Мы соглашаемся с Курантом и Роббинсом, которые утверждают, что единственное, что можно (и следует) доказать, — это то, что эти правила и определения сохраняют свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Поэтому логика приводит к удивительным результатам, с которыми порой непросто согласиться. Принимая правило, согласно которому «минус на минус дает плюс», мы соглашаемся не только с логикой, но и сами с собой, поскольку законы логики являются продуктом нашего мышления. Логичным будет принять последствия нашего решения, даже если они нам не нравятся или кажутся необычными.
Математики, например, могли отвергнуть отрицательные числа и сказать, что они мешают развитию знания. Отрицательные числа можно было счесть признаком безумия и доказательством нелогичности исходных предпосылок. Однако математики взяли на себя ответственность и расширили множество чисел, сохранив его согласованность и продвинув науку вперед.
Курант и Роббинс отдельно подчеркивают творческий аспект этого решения.
Принять необычные выводы, полученные на основе известных свойств и теорем, и ввести новые элементы и понятия — это типичный и распространенный пример математического творчества. Полученные результаты выглядят все более необычными, особенно если они противоречат устоявшимся представлениям или отстоят слишком далеко от элементарной математики, пригодной для того, чтобы считать камни на дне ручья.
Заниматься математикой означает испытывать математические переживания. Для этого нужно стремиться понимать мир и объяснять его определенным образом, с математической точки зрения, в которой окружающее поддается количественной оценке.
Об этом не говорится в эвристике Пойа, так как математические задачи порой могут выходить за рамки чисто академической среды, к которой принадлежит традиционная эвристика.
Цель математических вопросов, связанных с пережитым или испытанным, как внутри нашей научной и культурной среды, так и вне ее, — понять реальность и социальную, культурную или технологическую среду, в которой мы живем. Этот процесс является в высшей степени творческим, и к этой теме мы вернемся в главе 3.
Глава 2
Большие идеи для решения больших задач
Многие великие математические творения связаны с серьезными изменениями в развитии математики. Иногда очередное открытие или новая теорема помогали решить проблему, а иногда — противоречили общепринятой точке зрения. Некоторые величайшие математические творения стали настоящим вызовом разуму. То, что до определенного момента считалось иррациональным и бессмысленным, начинало использоваться для решения практических задач, чего раньше нельзя было и представить. Наиболее интересным примером, возможно, являются комплексные числа: как квадрат некоторого числа может быть отрицательным числом? И какой смысл имеют подобные числа?