Вначале мы покажем, как некоторые величайшие математические творения вызывали крупные кризисы. Затем мы постараемся развеять миф о том, что найти решение задачи можно только в момент озарения, и покажем, что решать задачи можно научиться. Далее мы приведем несколько примеров того, какие источники вдохновения для математического творчества существуют вокруг нас, доказав тем самым, что «мы творим, когда задаемся вопросами о жизни». Этому аспекту математики мы посвятили целую главу, в которой рассказали, как автор расширял знания математики в ходе межкультурного взаимодействия. Эта глава иллюстрирует один из важнейших тезисов книги: культура и общество играют фундаментальную роль в математическом творчестве и в математике, которая является продуктом этого творчества.
В предпоследней главе мы посмотрим на предмет с другой стороны и перейдем от творчества в математике к математике в творчестве. Мы покажем, как математику понимают люди, занимающиеся разными видами творчества, в частности дизайном и рекламой. В завершение мы вкратце повторим все изложенное, чтобы выделить уникальные особенности математического творчества и сформулировать его основные правила.
Глава 1
Основы математического творчества
Согласно наиболее распространенной точке зрения, математика относится к точным наукам — именно так ее называют уже много лет в вузах большинства стран. Все обращают внимание на прилагательное «точная», забывая о том, к какому слову оно относится. Студенты, поступая в университет, чтобы изучать математику, изучают прежде всего «точное».
Такой была и остается парадигма математики: точность, корректность, полное отсутствие ошибок и неопределенностей, выбор между черным и белым без малейших оттенков: выбор между прямыми и кривыми, конечным и бесконечным, открытым и замкнутым, корректным и некорректным, хорошим и плохим. Этот выбор неизменно производится на четко определенном пути в соответствии с законами логики, которая применяется к таким же простым и универсальным принципам (по крайней мере, на первый взгляд), как и те, что лежат в основе самой жизни.
В основе этих рассуждений лежит труд тысячелетней давности, книга, превосходная как по форме, так и по содержанию, — «Начала» Евклида. Из основных утверждений, считающихся истинными (постулатов), выводятся новые, не столь очевидные утверждения (теоремы), которые, в свою очередь, могут служить основой других, еще менее очевидных. Совокупность полученных таким образом умозаключений составляет основу геометрии, правильность которой гарантируется законами логики. Все результаты получены не по прихоти их автора, а с помощью логических рассуждений, основанных на первоначальных постулатах.
До недавнего времени «Начала» Евклида служили моделью преподавания математики. Именно поэтому в соответствии с наиболее распространенной концепцией математика представляет собой идеально точную совокупность корректных умозаключений, связанных между собой неизменной последовательностью «аксиома — теорема — доказательство — следствие — упражнение». Такой была математика, так она преподавалась, так она изучалась и воспринималась.
Тем не менее можете ли вы поверить, что Евклид был настолько гениален, что создал «Начала» сразу, целиком, после того как определил постулаты геометрии?
* * *
ЕВКЛИД И ЕГО МЕТОД
О создателе крупнейшей математической парадигмы известно немногое. Он жил около 300 года до н. э. и учился в Александрии. Самой известной его работой, несомненно, являются «Начала», состоящие из тринадцати книг и содержащие более 400 утверждений, выведенных из пяти постулатов, пяти общих утверждений, или аксиом, и 132 определений. Ниже приведены примеры постулатов, аксиом и определений.
Определение 1: Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2: Линия же — длина без ширины.
Определение 3: Края же линии — точки.
Постулат 1: От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Постулат 2: Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Постулат 3: Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны[1].
Папирус с фрагментом предложения № 5 из книги II «Начал».