Наиболее выдающийся результат математического творчества, который мы применили в этом решении, таков: мы вписали в искомую фигуру, площадь которой мы хотим найти, ряд прямоугольников, площадь которых легко вычислить. Чем больше прямоугольников мы впишем в искомую фигуру, тем ближе сумма их площадей будет к площади искомой фигуры. Так как значения площадей прямоугольников в пределе приближаются к конкретному числу и мы можем это доказать, можно найти конкретное значение площади криволинейной фигуры. От геометрического параллелизма мы переходим к числовому и обратно. Мы решили более простую задачу, чем исходная, а затем использовали полученный результат для решения нужной задачи.
Использование пределов в решении задач — одно из величайших достижений математического творчества всех времен. В конце XVII века Ньютон и Лейбниц использовали это понятие в качестве основы при создании математического анализа. Полтора столетия спустя французский математик Коши и немецкий математик Вейерштрасс уточнили понятие предела для непрерывных функций, подобных той, что мы рассмотрели в предыдущем примере.
Создание математического анализа сыграло огромную роль в развитии математики, физики и науки в целом. Как отмечают историки, Ньютон и Лейбниц создали математический анализ независимо друг от друга. По сути, их общим вкладом в науку был ответ на следующий вопрос: как можно количественно измерить мгновенное изменение величины?
Количественная оценка изменения величины между двумя моментами времени не представляет проблемы — достаточно найти разность соответствующих значений. Например, если некоторое явление описывается функцией f(t) = t2, где t обозначает время, выраженное в секундах, величина изменения, произошедшего между моментами времени t = 0 и t = 1,5, будет равна 2,25:
f(1,5) — f(0) = 1,52 — 02 = 2,25.
Однако такой способ оценки изменения не слишком удобен, так как на более коротком интервале, например между t = 4,77 и t = 5, изменение величины будет практически таким же:
f(5) — f(4,77) = 52 — 4,772 ~= 2,25.
Полученная разность не позволяет понять, что же происходит на самом деле.
Мы хотим, чтобы в величине, служащей оценкой изменения, учитывался интервал, на котором происходит изменение. Изменение, произошедшее за очень короткий промежуток времени, более существенно, чем изменение, произошедшее за длительное время. Следовательно, величина изменений должна учитывать время, за которое происходит изменение (это изменение называют «размахом вариации»):
Это уже лучше — размах вариации отражает то, что мы хотели увидеть, так как 9,77 намного больше, чем 1,5. Однако мы хотим определить, как оценить мгновенное изменение величины, а не изменение на интервале. Как дать количественную оценку изменению величины в данный момент времени, например при t = 1 секунде?
Математический подход к решению этой задачи таков: будем вычислять размах вариации для все более мелких интервалов, близких к моменту времени t = 1, и посмотрим, к какому значению будут приближаться результаты.
Очевидно, что полученные числа все больше приближаются к 2. Именно это значение характеризует изменение величины в момент времени t = 1, и его можно назвать мгновенным размахом вариации.
Графически размах вариации соответствует значению тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке, так как тангенс этого угла рассчитывается как отношение разности значений функции на концах интервала к длине этого интервала.
По мере того как значения х1, x2, х3, … приближаются к х, точки Р1, Р2, Р3 … приближаются к Р (см. рисунок ниже). Следовательно, мы поставим в соответствие точке Р тангенс угла наклона касательной, равный значению, к которому стремятся тангенсы этого угла в каждой из предшествующих точек.
Пифагор, известнейший из математиков, создал самую знаменитую математическую теорему. Ее доказательства, предлагаемые в средней школе, совершенно не похожи на вариант, предложенный Евклидом. Он также основан на вычислении площадей, в нем, как и в формулировке самой теоремы, фигурируют площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Однако площади используются только для доказательства. Сама же теорема используется только для вычисления длины.