* * *
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Многочлен — это выражение, в котором присутствует переменная, возведенная в различные степени с натуральным показателем. Числа, на которые умножается переменная в этих степенях, называются коэффициентами. Например, следующий многочлен
Р(х) = х5 — 4х3 + 3х2/2 -6
имеет рациональные коэффициенты, а именно 1, -4, 3/2 и -6. Число а называется корнем многочлена, если при этом значении переменной многочлен обращается в ноль: Р(а) = 0. Число а = 2 является корнем вышеприведенного многочлена. Число называется трансцендентным, если не существует многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого оно бы являлось. Иными словами, нельзя записать уравнение со степенями с натуральным показателем, решением которого будет трансцендентное число. Иррациональность числа √2 была доказана еще в Древней Греции. Об иррациональности числа я математики подозревали давно, однако доказательство этому было найдено лишь в 1761 году благодаря усилиям Иоганна Ламберта. В 1882 году Линдеман доказал, что я является трансцендентным числом. Как следствие, была окончательно доказана невозможность решения задачи о квадратуре круга. Число е (е = 2,71828182845904…) названо так по первой букве фамилии одного из величайших математиков всех времен — Леонарда Эйлера (1707–1783). Так же как и π, е является иррациональным и трансцендентным.
* * *
Натуральные числа столь близки нам, что многие считали их божественным творением. Можно сказать, что нечто столь совершенное не имеет изъянов и что любая теорема о натуральных числах в итоге обязательно должна быть либо доказана, либо опровергнута. Любое утверждение в системе натуральных чисел обязательно является либо истинным, либо ложным.
Однако математик Курт Гёдель (1906–1978) доказал, что это не так, что существуют недоказуемые теоремы о натуральных числах, то есть о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Согласно так называемой теореме Геделя о неполноте натуральные числа также содержат парадоксы.
* * *
ПАРАДОКСЫ
Парадокс — это рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Рекурсия в языке порой становится причиной парадоксов, в частности, как в двух первых случаях из числа представленных ниже. Третий случай является удивительным примером математической задачи с тремя разными решениями.
1. Некий брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Кто должен брить самого брадобрея?
2. Слово «гетерологичный» означает «неприменимый к самому себе». Является ли само слово «гетерологичный» гетерологичным словом?
3. Парадокс Бертрана. В окружности случайным образом проводится хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет превышать длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность? Эту вероятность можно рассчитать тремя разными способами и получить три разных результата: 1/2, 1/3 и 1/4.
* * *
Найти смысл и значение основных математических понятий всегда было творческой задачей. Существует множество простых уравнений, о которых говорят, что они не имеют решения, так как число, которое было бы их решением, не имеет смысла в наиболее часто используемой системе чисел.
В поле натуральных чисел, которые используются при счете, не имеет решения следующее уравнение, так как единственно возможное его решение не является натуральным числом:
2х = 1.
Однако это уравнение имеет решение в области дробных, то есть рациональных чисел:
Аналогично, очень простое уравнение
х2 = 2
не имеет решения в поле рациональных чисел. Именно с этой проблемой столкнулись древние греки. Однако им пришлось принять этот «чудовищный» результат, поскольку он являлся решением одной из простейших геометрических задач — задачи о нахождении диагонали квадрата единичной стороны.
Решение этого уравнения и этой задачи расширяет поле чисел так называемыми вещественными числами:
Можно подумать, что некоторые уравнения не имеют решений просто потому, что не существует чисел, которые описывали бы их решения, и, следовательно, решение имеет всякое уравнение. Суть проблемы в том, принадлежит решение этого уравнения к известным на данный момент числам или нет. Приведем еще один пример: мы говорим, что уравнение