х2 = —1
не имеет решения. Однако оно не имеет решения потому, что мы считаем х вещественным числом — конечной или бесконечной дробью, периодической либо нет.
Однако существует значение х, которое является решением этого уравнения, и выглядит оно «чудовищно»:
В середине XVI века Джероламо Кардано нашел формулу решения кубических уравнений, но, применив ее к уравнению х3 — 15х — 4 = 0, он столкнулся с проблемой. Нетрудно показать, что решением этого уравнения является х = 4. Однако решение, найденное по формуле Кардано, выглядело совершенно иначе:
Перед нами — еще одно «чудовище». Какой смысл имеет квадратный корень из отрицательного числа? Как соотносится подобное число с известным нам решением х = 4? Если мы примем квадратные корни из отрицательных чисел как числа, то какое значение они будут иметь?
Лишь в начале XIX века корни из отрицательных чисел получили свое значение: они стали составной частью комплексных чисел и им были поставлены в соответствие точки в декартовых координатах. Множество комплексных чисел, обозначаемое символом С, расширяет поле вещественных чисел. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей: вещественной и мнимой. Мнимая часть представляет собой произведение вещественного числа на i — корень из минус единицы, также называемый мнимой единицей. Рассмотрим два комплексных числа, а и Ь:
i = √-1
a = 2 + 3i
b = 1/2 — i√5.
Чтобы представить число а = 2 + 3i в декартовой системе координат, нужно отложить две единицы вдоль оси абсцисс и три единицы — вдоль оси ординат. Полученная точка будет иметь координаты (2, 3). Однако мы изобразили не просто точку на координатной плоскости — в отличие от точек и векторов на плоскости, с комплексными числами можно выполнять все известные алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень и т. д., и эти вычисления аналогичны вычислениям с вещественными числами. Наконец, система комплексных чисел является полной, так как любое уравнение на поле комплексных чисел имеет решение на этом же поле, что не выполняется для других множеств.
После того как было описано представление комплексных чисел на плоскости, они стали играть определяющую роль при решении задач, не имеющих решения в поле вещественных чисел.
Изложенное в предыдущем разделе стало возможным благодаря великому математическому творению — симбиозу алгебры и геометрии, которым стала аналитическая геометрия, разработанная Декартом и Ферма. Некоторые математики античности пытались создать систему геометрического представления формул. Однако лишь усилиями Декарта алгебра и геометрия объединились навсегда.
Предметом алгебры являются формулы и уравнения, предметом геометрии — фигуры и пространство. В аналитической геометрии эти два мира сливаются воедино: для каждой фигуры существует описывающая ее формула, для каждой формулы — множество точек плоскости, удовлетворяющих ей. Так уравнения обретают геометрический смысл, что облегчает их наглядное представление.
Такой подход позволяет нанести решения уравнений на «математическую карту» — систему координат. Но при поиске доказательств аналитическая геометрия не всегда полезна, так как иногда чисто геометрическое доказательство формулируется красивее, короче и четче, чем аналитическое.
Уравнение 3х — у + 1 = 0 — это элемент алгебры, смысл которого состоит в вычислении двух чисел, х и у, удовлетворяющих этому равенству. Этому уравнению удовлетворяют различные пары чисел: х = 0, у = 1; х = 1, у = 4; х = —1; у = —2.
Аналитическая геометрия придает этим числам новый смысл благодаря количественному измерению пространства. Если речь идет о двумерной плоскости, на ней проводятся две прямые, соответствующие двум измерениям на плоскости, на которых откладываются вещественные числа. Из соображений удобства эти линии обычно перпендикулярны друг другу, хотя это необязательно. Далее значениям переменной х сопоставляются числа на одной оси, значениям переменной у — числа на другой оси. Обозначим на плоскости точки А, В и С, соответствующие трем парам вышеуказанных решений уравнения: