Многие писатели прошлого и современности очень четко передают математические идеи, объясняют их и сопровождают примерами, что помогает лучше усвоить многие понятия и взглянуть на них по-новому. Чтобы проиллюстрировать это, обратим внимание на два рассказа: один из них принадлежит перу Хорхе Луиса Борхеса, второй — Итало Кальвино.
Большая часть творчества Борхеса посвящена парадоксальным ситуациям и объектам, которые тем не менее настолько логичны, что кажутся реальными: это пустыня, подобная лабиринту, где нет ни дверей, ни проходов, здание библиотеки невероятно сложной планировки и т. д. Описания подобных объектов в произведениях Борхеса содержат отсылки к математическим идеям.
В «Книге песка» этот аргентинский писатель говорит о книге с бесконечным числом страниц, при этом нельзя определить, какая из страниц книги первая, какая — последняя. Можно сказать, что бесконечность, описываемая Борхесом, является потенциальной и счетной, так как все страницы книги пронумерованы натуральными числами. Страниц в книге так много, что ее невозможно открыть еще раз на только что прочитанной странице, — именно так писатель проводит различие между конечным и бесконечным:
«Я наугад раскрыл книгу… Я обратил внимание, что на четной странице стояло число, скажем, 40514, а на следующей, нечетной, — 999. Я перевернул ее — число было восьмизначным. На этой странице была маленькая, как в словарях, картинка: якорь, нарисованный пером, словно неловкой детской рукою.
И тогда незнакомец сказал:
— Рассмотрите хорошенько, вам больше никогда ее не увидеть.
В словах, а не в тоне, звучало предостережение.
Я заметил страницу и захлопнул книгу. И тут же открыл ее. Напрасно я искал, страница за страницей, изображение якоря…
<…>
— …Ее владелец не умел читать… Он объяснил мне, что его книга называется Книгой Песка, потому что она, как и песок, без начала и конца»[2].
Если бы книга была конечной, то как бы много страниц в ней ни было (например, N), вероятность снова открыть ее на определенной странице была бы небольшой, но не нулевой. В бесконечной книге эта вероятность равна нулю:
Страницы «Книги песка» вполне могли быть пронумерованы натуральными числами: 1, 2, 3, … При такой нумерации книгу нельзя было бы открыть на последней странице, но можно было бы открыть на первой, однако в рассказе говорится, что у книги нет ни начала, ни конца. В попытках найти начало или конец книги герою все время попадались новые и новые страницы:
«Он попросил меня найти первую страницу. Я положил левую руку на титульный лист и плотно сомкнутыми пальцами попытался раскрыть книгу.
Ничего не выходило, между рукой и титульным листом всякий раз оказывалось несколько страниц. Казалось, они вырастали из книги.
— Теперь найдите конец.
Опять неудача; я едва смог пробормотать:
— Этого не может быть.
<…>
— Не может быть, но так есть. Число страниц в этой книге бесконечно.
Первой страницы нет, нет и последней. Не знаю, почему они пронумерованы так произвольно. Возможно, чтобы дать представление о том, что члены бесконечного ряда могут иметь любой номер. <…> Если пространство бесконечно, мы пребываем в какой-то точке пространства. Если время бесконечно, мы пребываем в какой-то точке времени»[3].
Так как в книге нет первой страницы, наша гипотеза о натуральных числах ошибочна. На каком множестве чисел отсутствует первый элемент? На множестве положительных рациональных чисел, то есть на множестве конечных или периодических десятичных дробей. Это множество не только бесконечное и счетное (его элементы можно сосчитать), но на нем также нет первого и последнего числа, ведь первого положительного рационального числа после нуля не существует. Если бы это число, назовем его А, существовало, то мы всегда могли бы разделить его пополам и получить A/2 — положительное рациональное число, меньшее А:
0 < А/2 < A
Первым рациональным числом должно быть A/2. Но это вновь неверно, так как A/4 еще меньше, А/8 — еще меньше. Таким образом, между данным рациональным числом (обозначающим первую страницу «Книги песка») и нулем (обозначающим обложку книги) может уместиться бесконечно много рациональных чисел (страниц книги). Мы можем пронумеровать страницы книги рациональными числами, заключенными между 0 и 1. Но у нее не будет ни первой страницы, ни последней.