Какую ошибку мы совершаем, когда используем хорду окружности в качестве приближенного значения длины ее дуги? Пусть а и с — длина дуги окружности и стягивающей ее хорды соответственно, r — радиус исходной окружности, α — центральный угол, определяющий дугу.
Следовательно, функция f(x) = sin (х)/х описывает соотношение хорды и стягиваемой ею дуги окружности. Таким образом, мы показали, как можно по-новому использовать эту необычную тригонометрическую функцию, ранее представлявшую интерес главным образом как пример нестандартного вычисления предела. Несмотря на то что при х = 0 эта функция имеет разрыв, предел функции в этой точке существует и равен 1. Существование этого предела доказывается именно путем сравнения дуг и хорд окружности.
* * *
Когда спустя полтора года я вернулся в эту деревню, мастера по-прежнему чертили пятиконечные звезды на глаз. Когда я рассказал им о том, как можно изменить их метод и использовать его для деления окружности на части, они поняли, что я имел в виду, уже по ходу объяснений, и верно предугадали результат. Они приняли предложенный мною метод и стали применять его.
Оригинальное название книги Дэвиса и Херша «Математический опыт» на английском языке звучит как The Mathematical Experience. Английское слово experience имеет более широкое значение, чем слово «опыт» в русском языке. Experience — это одновременно жизненный опыт и переживание, которое вносит вклад в формирование личности. При этом переживание — это психологический, личностный процесс. Таким образом, название книги Дэвиса и Херша можно было бы перевести как «Математическое переживание» — процесс, который, с одной стороны, является личным, с другой — выходит за рамки отдельной среды и культуры. Он не ограничивается исключительно научным миром или, напротив, только повседневной жизнью, может относиться как к теории, так и к практике, к западной культуре и любой другой. Переживания, изложенные в этой главе, отражают математический опыт. Описанные ситуации выходят за рамки отдельной культуры, в них сочетаются наука и повседневная жизнь, психологическое и личное, поэтому их по праву можно назвать математическими переживаниями.
Глава 5
Математика в творчестве
Пока что мы говорили о математическом творчестве. Но давайте посмотрим, как математика используется в областях, которые сегодня являются синонимом творчества вне рамок мира искусства, а именно в дизайне и рекламе.
Нет никаких сомнений относительно того, какую роль играла и продолжает играть геометрия в дизайне. Она неизбежно применяется при создании чего-то материального и осязаемого. С начала XX века чисто геометрические фигуры используются в дизайне самых разных товаров, особенно в дизайне мебели и упаковки. Дизайнеры, обладающие эстетическим вкусом, стремящиеся к абстракции и экономии форм, с помощью геометрических фигур делают свои работы более элегантными.
Используется математика и в мире рекламы. В последние десятилетия растущий интерес к науке вдохновил авторов рекламных кампаний на использование различных математических инструментов, чтобы повысить доверие к рекламируемому товару. Графики, формулы, геометрические фигуры, символы, числа и расчеты стали все чаще встречаться во всех средствах массовой информации, как печатных, так и аудиовизуальных.
Математика играет важную роль в дизайне и рекламе по двум причинам. С одной стороны, тот факт, что и дизайнеры, и специалисты по рекламе грамотно используют математические идеи, расширяет область применения этих идей. С другой стороны, когда математические понятия появляются в контекстах, не связанных с миром науки и технологий, они помогают по-новому понять знакомые нам идеи, делая их еще более доступными.
Можно привести множество примеров применения математических идей в сфере дизайна или рекламы. Проанализируем некоторые из них.
Тенденциозное использование пропорций
Непрерывная борьба за аудиторию приводит к тому, что теле- и радиокомпании в своей рекламе преувеличивают свои достижения и преуменьшают результаты конкурентов. Типичным примером является демонстрация графиков для того, чтобы сделать рекламу убедительнее. Чтобы подчеркнуть преимущество телеканала А над телеканалом В по охвату аудитории, обычно используются графики, подобные следующему: