Математика применяется для решения множества рабочих задач, и часто теоретическое решение практической задачи не является ее лучшим практическим решением. Изучив различные ситуации, мы увидели, что построить равносторонний треугольник можно разными способами, что сумма округленных значений не равна округленному значению суммы и что, как правило, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим. Источники математического творчества и вдохновения могут лежать за пределами самой математики. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес создал два вымышленных артефакта, которые, в свою очередь, представляют собой два невозможных и удивительных математических объекта: книгу с бесконечным количеством страниц и диск, у которого нет второй стороны. И всего одна фраза из произведения итальянского писателя Итало Кальвино стала источником геометрической задачи и новой теоремы.
Рассмотрев теорему Вариньона, мы увидели, что логическое доказательство не объясняет суть рассматриваемого явления, и необходим контекст, чтобы понять его. Этот пример, показывающий, как важен контекст для понимания любой задачи, служит потрясающей метафорой, которая помогает понять еще одну основную мысль этой книги: математика создается не только профессионалами из мира математики, не только представителями университетской науки, не только исследователями и не только в рамках западной культуры. То, как ремесленники народа тораджи научились строить правильные многоугольники с помощью неевклидовых методов, показывает, насколько важны в математическом творчестве культурные и социальные аспекты. Необычные переживания расширяют кругозор и помогают творить, поскольку в подобных ситуациях нам приходится объяснять новое с помощью того, что нам уже известно. Например, мы можем провести аналогию между бамбуковой рейкой и компьютерной программой: в обоих случаях мы используем итеративный процесс, который гарантированно приводит к нужному результату.
Своеобразными испытательными полигонами творчества сегодня стали реклама и дизайн. Когда исчерпаны все известные способы и кажется, что мы придали вещам все возможные формы, возникают новые идеи, которые питаются из прежних источников. Математика помогает и в продажах. Математические объекты и понятия стали частью нашей повседневной жизни — мы постоянно встречаем их в рекламных сюжетах и в дизайне объектов, которые находятся от нас на расстоянии вытянутой руки. Пропорциональность чисел и фигур, лента Мёбиуса, теорема Пифагора, симметрия, бесконечность, функции и их графики, вероятность… И это далеко не все математические объекты, которые можно использовать в дизайне и рекламе.
Традиционно различают два основных вида творчества, которые взаимно влияют друг на друга: творчество через расширение и творчество через ассимиляцию. Расширение означает сдвиг известных горизонтов, а под ассимиляцией понимается творчество, предполагающее изменение базовых понятий математики. Результаты подобного творчества обычно становятся причиной крупных изменений в науке.
Законы математического творчества
Творить означает создавать что-то, чего раньше не существовало, будь то объект, процедура или понятие. Творить математику, по сути, означает решать задачи, поэтому мы делаем первый шаг к творчеству, когда задаемся вопросом, на который может ответить математика. Этот вопрос может родиться из другой математической задачи, теоремы или какого-то явления повседневной жизни. Погрузившись в суть вопроса, нужно внимательно изучить его, и в этом очень важную роль может сыграть социальное и культурное взаимодействие. Когда мы обмениваемся с другими людьми нашими идеями и рассказываем им о неудачах, это помогает осветить «темную комнату», в которую мы попали. Технологии могут оказать нам огромную помощь и стать источником вдохновения, поскольку позволяют реализовать самые немыслимые плоды нашего воображения.
Наконец, мы не устаем повторять, что цель математического творчества — в том, чтобы объяснить рассматриваемое событие или явление. Логика помогает подтвердить правильность рассуждений, но сама по себе не всегда объясняет. Доказательство теоремы Ферма в итоге было найдено, однако в нем используется так много совершенно разных аргументов и аналогий, что оно не объясняет самой сути теоремы. Поэтому мы по-прежнему ждем, когда же будет найдено то самое «чудесное доказательство», о котором писал Ферма. Мы ждем этого потому, что по-прежнему считаем: к доказательству этой теоремы должен быть не только более короткий, но и более ясный путь. Мы хотим прежде всего понять, а уже затем, поняв, сформулировать доказательство.