В эпоху мрачного средневековья передача «культуры чисел» свелась к минимуму. Католическая церковь провела четкое разграничение между различными философскими концепциями мира и теми неоспоримыми принципами, которые соответствовали ее учению. Лишь одной традиции удалось в некоторой степени преодолеть эту нетерпимость: картам Таро. Хотя церковь в конце концов осудила эту систему символов, нумерология Таро сохранилась во многих текстах, которые были настолько двусмысленными, что было неясно, идет там речь о гадании или об арифметике.
Имея в основе десятичную систему счисления, нумерология Таро придавала особое значение первым девяти числам. Число 1 символизировало единство и уникальность, число 2 было символом различия и воспроизводства; число 3 представляло направление, в котором развиваются свойства двойки при добавлении единицы: 2 + 1. Аналогично число 7 представляло собой результат развития потенциала числа шесть: 7 = 6 + 1 и так далее.
Таким образом, начиная с единицы, устанавливаются основные принципы для первых девяти чисел и возможность сведения любого другого числа к одному из них. Именно здесь и появляются «магические суммы». Идея состоит в том, чтобы сложить все цифры в данном числе и таким образом свести их к одной цифре. Например, возьмем число 47 и сложим его цифры, пока не получим одну: 4 + 7 = 11 = 1 + 1 = 2. Таким образом, число 47 наследует символизм числа 2, но находится на более высоком уровне. Другой пример:
157 = 1 + 5 + 7 = 13 = 1 + 3 = 4.
Операции сложения и умножения также можно выполнить с помощью сведения к одной цифре. Например, чтобы сложить числа 248 и 386, мы сначала сведем их к одной цифре
248 = 2 + 4 + 8 = 14 = 1 + 4 = 5;
396 = 3 + 9 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9
и сложим полученные результаты:
9 + 5 = 14 = 1 + 4 = 5.
Если мы сначала выполним сложение, а потом сведение к одной цифре, мы по лучим тот же результат:
248 + 396 = 644 = 6 + 4 + 4 = 14 = 1 + 4 = 5.
* * *
ЧИСЛА И БУКВЫ
В греческой и еврейской культурах буквы алфавита были также связаны с числами, поэтому слова могли иметь различные мистические смыслы. Процесс заключался в сложении чисел, связанных с каждой буквой. Чтобы сравнить два слова, нужно было сравнить соответствующие числа. Слово, дающее большее число, считалось более важным. По легенде превосходство Ахилла над Гектором объяснялось следующими вычислениями: слово Ахилл соответствует числу 1276, а слово Гектор — лишь 1125.
* * *
Тот же самый результат получается, когда операции выполняются в другом порядке. При умножении мы поступаем аналогично:
45 х 27 = 1215 = 1 + 2 + 1 + 5 = 9;
45 = 4 + 5 = 9;
27 = 2 + 7 = 9;
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9.
Мы можем расположить первые сто натуральных чисел в таблице, в каждом столбце поместив эквивалентные числа в соответствии с указанной системой сведения к одной цифре.
Теперь мы можем сказать, что число 78 относится к группе 6, а число 93 — к группе 3. На языке современной математики эти группы называются «классами эквивалентности». Таким образом, можно говорить о «классе числа 3», «классе числа 5» и так далее.
Такой подход, уже известный математикам того времени, позволил Гауссу разработать новый вычислительный инструмент, который оказался очень полезным при определении некоторых свойств простых чисел.
* * *
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Сложение по правилу магических сумм обычно осуществлялось в магических квадратах. Это квадратные таблицы, заполненные числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Во многих культурах встречаются магические квадраты. Они интересовали многих известных математиков: Штифеля, Ферма, Паскаля, Лейбница и даже Эйлера. В настоящее время существуют алгоритмы для построения большинства магических квадратов.
Магический квадрат с гравюры «Меланхолия I» художника эпохи Возрождения, Альбрехта Дюрера.
* * *
Циферблат часов содержит 12 чисел, расположенных по кругу. После числа 12 должно идти число 13, но мы на самом деле возвращаемся к единице и начинаем новый отсчет. Эта система практически не отличается от правила магических сумм, только вместо первых девяти чисел здесь используются первые двенадцать. Мы могли бы составить таблицу, аналогичную предыдущей, только с двенадцатью столбцами вместо девяти. Напишем первые две строки такой таблицы: