Визуальное изображение комплексных чисел имеет давнюю историю. Некоторые математики, в частности Эйлер, Абрахам Муавр и Александр Теофил Вандермонд, уже думали о возможности представления комплексного числа х + ух как точки на плоскости с координатами (х, у). Однако именно Жан Робер Арган (1768–1822), бухгалтер и математик-любитель, опубликовал небольшое исследование о том, как можно изобразить комплексные числа геометрически. Дальнейшие работы Гаусса, который определил геометрический характер комплексных чисел, и придали им ту окончательную форму, которую мы используем сегодня. На самом деле Гаусс не только ввел символ х для √-1, но и считал, что 1,-1, √-1 следует рассматривать не только как положительное, отрицательное и мнимое числа, а как различные формы числа 1: вперед, назад и вбок. Действительно, мнимые числа были бы приняты скорее, если бы удалось развеять атмосферу таинственности вокруг них. По той же причине Гаусс использовал термин «комплексное число» вместо «мнимое число».
Изобразить комплексное число на плоскости очень просто. Проведем две перпендикулярные оси координат. Назовем горизонтальную ось ОХ действительной осью, на ней мы будем отмечать действительные части комплексных чисел (положительные — справа от начала координат, отрицательные — слева). Назовем вертикальную ось OY мнимой осью, на которой будем отмечать мнимые части комплексных чисел (положительные — сверху от начала координат, отрицательные — снизу). Таким образом, чтобы изобразить комплексное число 2 + i, мы поступим следующим образом:
* * *
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Даже после того как Кардано в начале XVIII в. сделал первые расчеты с использованием мнимых чисел, математики старались избегать их, поскольку в их существовании они всерьез сомневались. Математики такого масштаба, как Эйлер, Валлис и Д'Аламбер, использовали их с разной степенью успеха. Комплексные числа начали применяться при определенных условиях, например, на промежуточных стадиях некоторых доказательств. Гаусс был одним из первых, кто свободно обращался с ними и даже нашел способ их изображения, но лишь в XIX в. они окончательно утвердились в математике, когда Риман ввел сложные функции f(x), в которых переменная х представляла собой комплексное число.
* * *
Отложим два единичных отрезка вправо по оси ОХ и один — вверх по оси OY.
Мы можем посчитать расстояние ОА по теореме Пифагора, (ОА)2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5, следовательно, ОА = √5. Это число называется модулем комплексного числа.
Геометрическое представление комплексных чисел было большим шагом вперед.
Теперь их можно было использовать в математическом анализе функций комплексного переменного.
Глаз специалиста может увидеть дополнительную информацию в графическом представлении функции. На самом деле эти графики можно рассматривать как произведения искусства. Лорд Кельвин однажды сказал: «Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все, что может услышать ухо.
Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».
Мы уже видели в третьей главе, что можно определить функции, которые каждому действительному числу ставят в соответствие другое действительное число. Аналогично мы можем определить функции, которые действительное число ставят в соответствие паре действительных чисел.
Например:
(х, у) — > х2 + у2.
Соответствующая таблица будет выглядеть так:
Чтобы изобразить график такой функции, мы должны взять трехмерное пространство, в котором, например, точка (1, 2, 5) находится от точки плоскости (1, 2) на расстоянии пяти единичных отрезков вдоль третьей оси (OZ), перпендикулярной к плоскости OXY
И функция f(х, у) = х2 + у2 будет представлена следующим образом:
В XIX в. теория функций продвинулась достаточно далеко, чтобы работать с такими графиками. Однако возникла новая задача: как использовать комплексные числа в качестве переменных? Этот шаг имел решающее значение для теории простых чисел.
Гаусс уже использовал функции комплексного переменного, изображая их в трехмерном пространстве. Как мы увидим в следующей главе, Риман пошел еще дальше и определил комплексные функции комплексного переменного. В пространственных графиках, которые мы видели до сих пор, два числа соответствовали третьему. Точка на плоскости порождала образ вдоль третьей оси, что требует трехмерного пространства. Предположим теперь, что образом точки с двумя координатами будет также точка с двумя координатами. Другими словами, нам нужно еще одно измерение для построения графика такой функции, то есть нам нужно четырехмерное пространство. Визуализация объектов в четырех измерениях возможна лишь в научной фантастике. Таким образом, у нас нет выбора, кроме как использовать некоторые трюки, чтобы получить представление о форме графика рассматриваемой функции.