Одной из возможностей является изучение проекций на трехмерное пространство аналогично изучению тени. Чтобы понять эту аналогию, представим себе, что мы живем в двумерном пространстве, то есть мы совершенно плоские, и мы пытаемся определить форму трехмерного объекта. Проекцией объекта на плоскость является его тень при освещении прожектором. Возможно, одной тени недостаточно, и нам потребуются еще две или три проекции. Например, цилиндр, подвешенный в воздухе внутри помещения, отбрасывает тень в виде прямоугольника на одну из стен: это может дать нам неправильное представление о его форме. Мы можем подумать, что это прямоугольный параллелепипед, который будет отбрасывать такую же тень. Однако если мы посмотрим на тень на полу, то увидим, что она имеет форму круга. Тогда мы поймем, что объект является цилиндром. Проблема заключается в том, что, будучи двумерными существами, мы никогда не сможем увидеть трехмерный цилиндр.
С другой стороны, тени могут быть очень обманчивы, или их не так уж легко можно интерпретировать. Например, рассмотрим объект, который при освещении справа отбрасывает тень в форме круга. При освещении снизу его тень будет треугольная, а при освещении сверху — прямоугольная. Существует ли такой трехмерный объект? Если да, то он может иметь очень странную форму!
Возникает вопрос: существует ли связь между различными проекциями объекта, которая позволяет определить его трехмерную форму? Ответ был дан в 1986 г. Кеном Фалконером, преподавателем математики Сент-Эндрюсского университета. Его теорема гласит: нет, в общем случае никакой связи нет.
Что же нам делать, если мы хотим знать, какую форму имеет объект в четырехмерном пространстве? Мы никогда не сможем увидеть его точную форму, потому что даже если бы мы могли изобразить его, у нас нет возможности его воспринимать. Однако существуют аналитические методы определения некоторых геометрических характеристик объекта.
Возвращаясь к примеру, в котором мы были двумерными существами, покажем методы, с помощью которых такие существа могут определить, как выглядит сфера. Идея заключается в том, чтобы рассмотреть сечения сферы при пересечении ее с плоскостью, в которой мы живем и из которой мы эту сферу наблюдаем. Когда сфера просто касается нашей плоскости, мы видим лишь точку. Потом появляются концентрические круги, которые по мере прохождения сферы через плоскость сначала расширяются, а потом сужаются, пока снова не превратятся в точку.
Следует подчеркнуть, что в этом примере мы четко представляем ситуацию, потому что мы в состоянии воспринимать трехмерные объекты, чего нельзя сказать о нашем восприятии объектов в четырехмерном пространстве. Тем не менее, пример иллюстрирует то, что происходит в месте пересечения объекта и нашей плоскости. Этот момент очень важен, поскольку он тесно связан с так называемыми нулями функции.
Например, выражение — (5x/2) + 5 = 0 можно легко превратить в функцию, записав в виде:
γ = — (5x/2) + 5
Если мы построим ее график, то получим прямую линию. Точка пересечения этой линии с горизонтальной осью (х = 2) является решением уравнения у = 0:
Аналогично если у нас есть квадратное уравнение х2 + х — 2 = 0 и мы построим график функции f(x) = х2 + х — 2, то увидим, что он пересекает ось X (у = 0) в двух точках, которые являются решением уравнения: х = 1 и х = —2.
Если мы обобщим задачу на три измерения, то, например, уравнение х2 + у2 — 4 = 0 представляется функцией f(х, у) = х2 + у2 — 4, графиком которой является параболоид. Его пересечение с плоскостью XY дает окружность с радиусом 2, как видно на рисунке на следующей странице. Все точки этой окружности являются решением нашего уравнения.