Одним из результатов, о котором мы уже говорили, является тот факт, что сумма углов сферического треугольника больше 180°, или π радиан, и меньше 360° = 2π радиан. То есть
π < A + В + С < 2π.
Таким образом, можно сказать, что сумма сторон сферического треугольника удовлетворяет неравенству:
a + b + c < 2·π·R.
Величина (А + В + С — 180°) называется сферическим избытком, так что площадь сферического треугольника S находится по следующей формуле:
где R — радиус сферы.
Следует отметить, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. Кроме того, чем больше площадь треугольника, тем больше сферический избыток, и именно поэтому больше значение А + В + С.
В евклидовой геометрии имеется следующий результат: длина окружности радиуса r равна 2πr. В эллиптической геометрии этот результат выглядит следующим образом: длина окружности радиуса r всегда больше, чем 2πr.
* * *
ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Давайте решим следующую задачу: какова должна быть площадь сферического треугольника на поверхности Земли, чтобы сумма его углов была больше 180° хотя бы на 1°? По формуле для площади сферического треугольника имеем:
Мы хотим найти значение S, такое что
Отсюда получаем
Выражая S и подставляя 6350 км вместо R, имеем
Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км2, сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.
* * *
В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:
Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а).
И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:
Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:
«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».
В следующей таблице сравниваются основные математические характеристики традиционной и сферической геометрий — самой простой версии эллиптической геометрии.
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
• Прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Прямые линии бесконечны. Расстояние между двумя точками не ограничено.
• Существует только одна прямая линия, соединяющая две точки.
• Существуют прямые без общих точек, и они называются параллельными линиями.
• Две перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.
• Треугольник имеет не более одного прямого угла.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
• Геодезическая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Геодезические линии имеют максимальную конечную длину, равную πR. Максимальное расстояние между двумя точками равно πR.
• Геодезическая линия будет единственной тогда и только тогда, когда две точки не являются диаметрально противоположными. В противном случае существует бесконечное число геодезических линий.