Обложка книги «Алеф», в которой Хорхе Луис Борхес излагает новое видение Вселенной.
В рассказе «Абенхакан эль Бохари, погибший в своем лабиринте» из книги «Алеф» (1949) Борхес пишет от лица главного героя Данревена: «Я решил забыть твои нелепости и подумать о чем-нибудь осмысленном: о теории множеств например или о четвертом измерении».
(Перевод Б. Дубина)
Научная фантастика
Нет никаких сомнений, что чаще всего тема четвертого измерения появлялась в научной фантастике XX в. К этим сюжетам обращались многие великие фантасты, такие как Айзек Азимов, Грег Бир, Артур Кларк, Говард Лавкрафт, Фредерик Пол, Руди Рукер, Клиффорд Саймак и многие другие.
Стоит отметить два произведения, тесно связанные с четвертым измерением.
Один из них — короткий рассказ «…И построил он себе скрюченный домишко» (1940) Роберта Хайнлайна, в котором архитектор построил дом, являющийся разверткой гиперкуба в третьем измерении (мы остановимся на этом подробнее в следующей главе). Этот дом после постройки сложился обратно в четвертое измерение вместе с архитектором, который находился внутри. Гиперкуб также описывает Мадлен Л’Энгл в детском рассказе «Складка времени» (1962).
Глава 7. Визуализация четвертого измерения
Таким же образом, как мы можем изобразить на плоскости фигуру, имеющую три измерения, мы можем сделать это и для четырехмерной фигуры на поверхности с тремя (или двумя) измерениями. Мы даже можем изобразить эту фигуру в разных ракурсах и с разных точек зрения… [и изучая «целое» по этим частям] мы можем представить четвертое измерение.
Анри Пуанкаре. Наука и гипотеза (1902)
Многие думают, исходя из трехмерности нашего мозга (что вовсе не очевидно, так как, может быть, мозг в нашем мире является одним из сечений четырехмерного мозга), что четвертое измерение представить невозможно. Конечно, это сложная задача, но можно рассуждать, как предлагал Пуанкаре. Как, например, художники используют двумерное полотно для изображения трехмерных фигур или инженеры применяют несколько проекций для проектирования инструментов, машин и зданий, так и мы могли бы попытаться визуализировать четырехмерные объекты, «рисуя» их в трехмерных проекциях. Хотя даже имея «трехмерные картины», нарисованные в разных ракурсах, сложно представить, как выглядит четырехмерный объект.
В конце XIX и начале XX вв. одной из главных проблем многомерных пространств была их визуализация. Многие ученые пытались изобразить гиперкуб — четырехмерную версию куба. Исследованием гиперкуба и других n-мерных многогранников занимались такие специалисты, как Чарльз Хинтон, Клод Брэгдон, Вашингтон Ирвинг Стрингхем, Алисия Буль Стотт (сестра жены Хинтона), американец Генри Мэннинг (автор книги «Простое объяснение четвертого измерения»), француз Эспри Жуффре (автор нескольких работ о четвертом измерении), Анри Пуанкаре и многие другие. На самом деле методы визуализации четвертого измерения заключаются в переходе к трем измерениям с помощью различных проекций, сечений или разверток.
Эти методы уже были известны и широко использовались в начале XX в. Описывая различные методы визуализации, мы будем опираться на интуицию и, как и в других главах книги, использовать многомерные аналогии.
Гиперкуб, также известный как тессеракт (термин, введенный Чарльзом Хинтоном в книге «Новая эра мысли»), является обобщением куба в четвертом измерении.
Как и в первой главе, предположим, что точка, имеющая нулевую размерность, будет также 0-мерным кубом, то есть кубом в нулевом измерении. Если точка находится на прямой линии (в одномерном пространстве) и перемещается на определенное расстояние по этой прямой, то мы получим отрезок (который будет одномерным кубом). Если точка находилась в начале оси координат и переместилась на единицу вправо, то полученный отрезок будет отрезком [0, 1], другими словами, он состоит из всех точек между 0 и 1 (см. рисунок на странице 106). Если этот отрезок находится на оси X координатной плоскости, то, перемещая его на одну единицу по оси Y, перпендикулярной оси X, мы получим квадрат (двумерный куб) со сторонами 1.
Если мы переместим единичный квадрат на одну единицу в перпендикулярном направлении к плоскости ХУ по оси Z, то мы получим трехмерный куб. Перемещая трехмерный куб в направлении, перпендикулярном к трем остальным, по новой оси, которую мы будем называть W, мы, наконец, получим гиперкуб, или четырехмерный куб.
В нашем пространстве мы не можем визуализировать гиперкуб, поэтому мы будем представлять куб, перемещающийся в перпендикулярном направлении к трехмерному пространству, как показано на с. 106.
* * *
ПОМОГАЮТ ЛИ ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИЗУАЛИЗИРОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ?
Многие считают, что невозможно полностью представить четырехмерный объект в трех измерениях, а тем более в двух. Это в некоторой степени правда, хотя, с другой стороны, люди привыкли представлять окружающий мир в двух измерениях с помощью картин, фотографий и кино. Другими словами, мы не подвергаем сомнению достоверность плоских изображений реальности. Более того, для получения информации о реальности эти двумерные изображения иногда просто необходимы, если учитывать изменение ракурсов и моментов времени. Приведем пару несложных примеров. Театр теней, например, несмотря на простоту плоских черных силуэтов, не мешает нам узнавать форму предметов и следить за сюжетом пьесы.
Вторым известным примером является бег лошади. Вплоть до 1870 г. завсегдатаи калифорнийских скачек вели дебаты о том, существует ли такой момент, когда ни одно из копыт лошади не касается земли. Спор был решен после того, как британский фотограф Эдвард Мейбридж (1830–1904) сделал ряд снимков, на которых было видно, что такой момент действительно существует.
Серия фотоснимков Мейбриджа, показывающих движение лошади. В один из моментов копыта лошади не касаются земли.
* * *
Отрезок прямой, квадрат, куб и гиперкуб со стороной 1 в соответствующих пространствах.
Интуитивно понятно, что каждый n-мерный куб, то есть куб в n-м измерении, получается путем перемещения (n — 1) — мерного куба из измерения на единицу меньше в направлении, перпендикулярном к предыдущим. Однако в математических терминах n-мерный куб может быть задан всеми точками в n-мерном пространстве, координаты которых больше 0 и меньше 1, то есть:
Каждый n-мерный куб состоит из элементов меньших размерностей — k-мерных кубов, где 0 <= k <= n. Например, гиперкуб состоит из следующих элементов: точек (вершин или углов), отрезков (ребер), граней (квадратных поверхностей), кубов (кубических граней) и самого гиперкуба. Для того чтобы попытаться понять, что такое гиперкуб, мы начнем с анализа элементов, из которых он состоит, используя следующие рассуждения и аналогии (с помощью рисунка).