Рассмотрим сначала элементы одномерного куба, то есть отрезка прямой линии.
Отрезок состоит из двух вершин и, конечно, самого себя. Теперь, переместив отрезок в перпендикулярном направлении и получив квадрат, мы имеем две начальные вершины и две конечные, следовательно, число вершин при перемещении удвоилось. Таким образом, квадрат имеет 4 вершины, куб — 8, а гиперкуб — 16. Теперь посчитаем ребра квадрата. У нас был начальный отрезок, затем конечный плюс два отрезка, образованные при перемещении каждой вершины, поэтому квадрат имеет 1 + 1 + 2 = 4 ребра. Аналогично куб будет иметь 4 + 4 + 4 = 12 ребер, а гиперкуб — 12 + 12 + 8 = 32 ребра.
Далее мы посчитаем грани. При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении у нас получится начальная и конечная грани, плюс каждое ребро при движении образует новую грань, поэтому куб имеет 1 + 1 + 4 = 6 квадратных граней.
Гиперкуб будет иметь 6 + 6 + 12 = 24 квадратные грани. Наконец, при перемещении куба получаются начальный и конечный кубы, плюс каждая грань куба при движении образует новый куб, так что гиперкуб имеет 1 + 1 + 6 = 8 кубических граней. Занесем полученные данные в таблицу.
Гиперсфера является эквивалентом сферы в четвертом измерении. Но чтобы дать определение гиперсферы, мы должны понять, что такое сфера. Сфера образована всеми точками, находящимися на одном и том же расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). В терминах аналитической геометрии, если О = (0, 0, 0) — координаты центра, а r — радиус, это можно записать следующей формулой:
Кроме того, сфера является двумерной поверхностью.
* * *
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ N-МЕРНОГО КУБА
С помощью комбинаторики мы можем получить общие формулы для определения количества элементов n-мерного куба. Пусть Е(k,n) обозначает количество k-мерных кубов в n-мерном кубе. Для расчета Е(k,n) мы сначала определим, сколько k-мерных кубов выходит из данной вершины. Если из каждой вершины выходит n ребер, то достаточно посчитать, сколькими способами мы можем выбрать k ребер из n. Это число и будет количеством k-мерных кубов, выходящих из данной вершины. Таким образом, задача свелась к комбинаторике:
где n! является факториалом n, другими словами, n! = n(n — 1)∙(n — 2)…3∙ 2∙1. Так как всего вершин 2n, то общее количество k-мерных кубов равно
Но каждый k-мерный куб имеет 2k вершин. Это значит, что каждый k-мерный куб мы посчитали 2k раз, поэтому мы разделим результат на это число. Получим
В общем случае количество k-мерных кубов считается так
Можно убедиться, что результаты в приведенной выше таблице согласуются с этой формулой.
* * *
В общем случае для любого (n + 1) — мерного пространства соответствующая n-мерная сфера образуется точками (n + 1) — мерного пространства, которые находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Мы имеем следующую формулу:
В одномерном пространстве 0-мерная сфера с центром в точке 0 и радиусом 1 представляет собой две точки {—1, 1}, как показано на рисунке. На плоскости одномерная сфера является окружностью с центром в начале координат и радиусом 1, а в трехмерном пространстве двумерная сфера будет тем, что мы обычно понимаем под сферой.
N-мерные сферы с радиусом 1 и с центром в начале координат в пространствах размерности (n + 1), где n = 0, 1, 2.
Теперь мы подошли к задаче, как можно визуализировать и лучше представить себе, что такое гиперсфера. Предположим, что пространственное четвертое измерение существует, и мы находимся на огромном поле. Мы смотрим на пятиметровую мачту и хотим представить себе, как выглядит гиперсфера с центром на верхушке мачты и радиусом 5 м. Конечно, можно представить обычную сферу (двумерную) с центром в этой точке и радиусом 5 м (как показано на рисунке ниже), состоящую из точек нашего трехмерного пространства, которые находятся на расстоянии 5 м от центра. Ясно, что эти точки также принадлежат гиперсфере. Но можно ли визуализировать остальные точки гиперсферы, которые не находятся в нашем пространстве? Предположим, что мы переместились на 4 м от центра сферы в любом направлении, а затем — на 3 м в направлении к ана. Это направление, кстати, перпендикулярно к предыдущему. Тогда по теореме Пифагора 32 + 42 = 52. Другими словами, мы оказались в точке в 5 м от центра, которая, следовательно, принадлежит гиперсфере.
Сфера с центром О и радиусом 5 м является частью гиперсферы, той частью, которая находится в нашей трехмерной вселенной. Если мы отойдем от центра сферы на 4 м, а затем на 3 м в направлении к ана, то окажемся в точке Р, которая будет точкой гиперсферы с радиусом 5.
Так можно получить все точки гиперсферы. Чтобы лучше понять эту идею, мы повторим этот процесс на поверхности Флатландии. Предположим, что Квадрат, главный герой книги Эбботта, захотел изобразить на плоскости сферу с центром в точке О и радиусом 5. Сначала он нарисовал в своей плоской вселенной окружность радиуса 5, которая, как он знает, является частью трехмерной сферы, то есть той частью, которая находится во Флатландии. Затем он действует так же, как и мы: он перемещается в любом направлении от центра на расстоянии 4 м, а затем представляет движение на 3 м вверх. По теореме Пифагора (которую он, к счастью, знает) полученная точка также будет точкой сферы (см. рисунок ниже). Кроме того, из точек окружности меньшего радиуса, например 4 м, Квадрат может представить другую окружность в верхней части сферы (то есть плоское сечение сферы), расположенную в 3 м над Флатландией. Другая меньшая окружность может быть получена при движении вниз.
Окружность с центром О и радиусом 5 м, нарисованная Квадратом, является той частью сферы, которая находится во Флатландии. Если мы переместимся от центра круга на расстояние 4 м, а затем на 3 м вверх, то мы окажемся в точке Р, которая также будет точкой сферы радиуса 5 м.
Квадрату удалось понять, что такое сфера, но теперь он должен попытаться представить ее. Учитывая, что каждая окружность с центром О и радиусом меньше 5 м соответствует окружности сферы (на самом деле двум окружностям), квадрат-математик представляет себе половину сферы как группу всех окружностей с центром О и радиусом меньше 5 м, как показано на рисунке.
Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими, чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).
Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с большим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (отрезка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обозначает высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг, соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус которого равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора: h2 + с2 = 52). Следующий рисунок получен именно так.