Иллюстрация из книги «Проективный орнамент», показывающая, как четвертое измерение используется для создания новых декоративных мотивов.
Изображения куба и гиперкуба, полученные в предыдущем разделе, являются «тенями» при падении на объект параллельных «лучей света». Но теперь мы будем рассматривать тени, порожденные лучами света, исходящими из одной точки.
Именно такие изображения видит наш глаз или объектив фотокамеры. Соответствующая проекция называется центральной проекцией. Это отображение n-мерного координатного пространства в (n — 1) — мерное подпространство, при котором лучи соединяют центральную точку (источник света) с подпространством проекции, так что все точки, которые находятся на одном таком луче, будут проецироваться в одну точку (n — 1) — мерного подпространства.
* * *
МЕТОД ПЕРСПЕКТИВЫ В ИСКУССТВЕ
Метод перспективы в искусстве Ренессанса был научной и художественной революцией в подходе к представлению пространства на плоскости. В древности и в средние века образы на картинах были плоскими, в том смысле, что у них не было глубины, пропорции не сохранялись, а формы и объемы искажались. В Средние века, например, более крупно изображали более важных с религиозной точки зрения персонажей. В эпоху Ренессанса художники обратились к науке в поисках методов и приспособлений, позволяющих получить изображение, более близкое к тому, что видит глаз художника. Среди великих художников, использовавших метод перспективы, были Джотто, Пьеро делла Франческа, Брунеллески, Леон Баттиста Альберти, Рафаэль, Дюрер и Леонардо да Винчи. Метод перспективы доминировал в искусстве с XV до XIX в.
Сцена с картины «Альфонсо Мудрый и его двор» (рис. вверху). Это пример плоской живописи Средневековья. Ниже — «Бичевание Христа» (1444–1469) Пьеро делла Франчески. Ренессанс принес с собой метод линейной перспективы.
* * *
Если спроецировать трехмерный куб, используя центральную проекцию из трех различных точек, то мы получим следующие изображения.
Как видим, центральная проекция не сохраняет параллельность. В этой проекции образом параллельных линий будут линии, которые пересекаются в точке схода. Как видно на рисунке, куб имеет три группы параллельных линий (или ребер), и его проекция может иметь одну, две или три точки схода (рисунки А, Б и В соответственно).
Кроме того, частям объекта, которые ближе к центральной точке проекции, соответствуют более длинные отрезки на проекции. Другими словами, у куба все ребра имеют одинаковую длину, а длина отрезков на проекции будет различаться в зависимости от расстояния от ребра до центральной точки проекции. Аналогично на рисунке А внешний квадрат соответствует грани, которая ближе к источнику света, а внутренний — той грани, которая дальше.
Как и для куба, можно получить разные центральные проекции гиперкуба в нашем трехмерном пространстве в зависимости от положения источника света в четырехмерном пространстве. Проекция гиперкуба, изображенного на рисунке Б, соответствует рисунку А. Как и в трехмерном случае, внешний куб представляет собой кубическую грань гиперкуба, которая расположена ближе к центральной точке проекции, в то время как внутренний куб является образом дальней кубической грани.
Одним из самых интересных примеров визуализации гиперкуба является фильм Томаса Бэнчоффа и Рихарда Страусса «Гиперкуб: проекции и сечения», который показывает проекции гиперкуба в различных ракурсах.
В прошлом при изучении морфологии цветов и различных растений ботаники использовали особый метод, состоящий в том, что изучаемый объект помещали в контейнер, куда наливали специальное вещество. Это вещество делало растение твердым, так что его потом можно было нарезать тонкими слоями. Вспомним, что во Флатландии такой способ использовался для передачи информации между мирами различных размерностей. Квадрат использует «небольшие срезы», чтобы описать Флатландию или чтобы показать себя королю Лайнландии. Для этого он пересекает своим телом одномерный мир Лайнландии. Аналогично Сфера, пересекая Флатландию, пытается объяснить реальность существования самой себя и трехмерной вселенной. Что же видит Квадрат, когда Сфера пересекает Флатландию? Сначала он видит точку, затем — круг (хотя круг может быть жрецом Флатландии), который увеличивается, а затем снова уменьшается до точки и исчезает. Мы бы увидели то же самое, если бы наш мир посетила Гиперсфера, только вместо круга мы бы увидели меняющийся в размере шар. Иными словами, трехмерные срезы Гиперсферы являются сферами, которые меняются в размере.
* * *
ГИПЕРКУБ В ИСКУССТВЕ
С тех пор как четвертое измерение стало частью поп-культуры, многие художники пытались воссоздать различные визуализации гиперкуба, в том числе его проекции. Гиперкуб стал центральной темой произведений многих архитекторов, художников и скульпторов. Например, одна из скульптур, которая использует центральную проекцию гиперкуба, называется Monumento a la Constitution и находится в саду музея естественных наук в Мадриде. Она изготовлена из андалузского белого мрамора, символа чистоты. Сторона ее внешнего куба равна 7,75 м, четыре боковые грани открыты, и в каждой имеется шесть ступенек, ведущих к центральному кубу, так что к нему можно подойти с четырех сторон света, что символизирует демократические ценности. Гиперкуб представляет собой более высокую реальность, чем наше трехмерное пространство, соответствующее трем конституционным принципам: свобода, равенство, братство. Идею гиперкуба можно также найти в Большой арке Дефанс (La Grande Arche de la Defense), расположенной в пригороде Парижа.
Построенное по проекту датского архитектора Отто фон Спрекельсена в 1989 г., это внушительное сооружение высотой 110 м имеет форму центральной проекции гиперкуба. В верхней части арки располагаются зал для конференций и выставочный центр, музеи и смотровая площадка, а в боковых частях — правительственные учреждения.
На фотографии слева — Большая арка Дефанс, гиперкуб к 200-летию Французской революции. Справа — Monumento a la Constitucidn (1979) по проекту архитектора Мигеля Анхеля Руиса Ларреа, который использовал центральную проекцию гиперкуба.
* * *
Центральная проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерном пространстве.
Прежде чем анализировать форму гиперкуба с помощью трехмерных срезов, рассмотрим случай в пространстве на размерность меньше, а именно плоские сечения куба в различных направлениях, чтобы далее использовать эту аналогию.
Трехмерные сечения гиперсферы (рисунок Хосу Арройо).
Если рассекать куб вдоль одной из его граней, другими словами, делать параллельные срезы, то полученные сечения будут квадратами, как видно на рисунке на следующей странице. Если сделать срез, проходящий через одно из ребер по диагонали куба, и другие сечения, параллельные этому срезу, то получаются прямоугольники, квадраты и отрезки. Самые интересные сечения, которые труднее всего представить, получаются, когда делаются срезы, начиная с одной из вершин и перпендикулярно к диагонали куба, соединяющей эту вершину с противоположной.