Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь». Того же мнения о сущности гладкости придерживается и известный космолог Брайан Грин: «Понятие „гладкости“ имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова „гладкость“ хорошо передает суть этого понятия: гладкий — значит без складок, без проколов, без отдельных „нагроможденных“ друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит».
Обратим внимание — Б. Грин говорит здесь о гладкости трехмерного пространства. Это, как будет видно из дальнейшего, весьма важное обстоятельство!
Итак, существование дифференциала порождает гладкость во всех геометриях. А гладкость порождает причинность.
Все ли в этом мире гладко?
Математический аппарат дифференциального исчисления, основанный на представлении гладкости пространства, использовался и используется физиками для описания реальности во всех ее масштабах: от микромира стандартной квантовой механики с ее уравнениями Шредингера и Дирака, до макромира и даже всего универса в СТО и ОТО Эйнштейна, во всех мыслимых диапазонах скоростей и масс взаимодействующих тел.
Что из всего этого следует? Р. И. Пименов пишет: «…Сложившуюся ситуацию вроде можно было бы описать такими словами: фактически для оправдания как парадигмы дифференциальных уравнений, так и парадигмы детерминированности, использовался НЕЯВНЫЙ ПОСТУЛАТ о выделенности гладких движений».
Почему «парадигма детерминированности» или, другими словами, «стрела времени», попала в один ряд с парадигмой дифференциальных уравнений? Это стало неизбежным в начале XX века, когда физики осознанно ввели новый конструкт — «пространство-время», в котором время объединялось с пространством посредством особой метрики Минковского. И с тех пор детерминизм — однозначная связь прошлого с настоящим и будущим — стал элементом конструкции четырехмерного множества пространства-времени.
И до середины XX века «все было в порядке». Но вот, замечает Р. И. Пименов, «в семидесятые годы XX века Мандельброт выпустил книгу, где собрал богатый материал, убедительно вводивший в практический оборот многие из казавшихся безнадежно „абстрактными“, „заумными“, „патологическими“ математических конструктов.
Заумными и патологическими их считали потому, что в них было невозможно ввести понятие дифференциала. Любой их самый маленький элемент (отрезок, площадка, объем) оказывался „сложно устроенным“ и не имел „бесструктурных областей“, необходимых для существования дифференциалов.
И канторовы дисконтинуумы, и покрывающая всю плоскость кривая Пеано, и ковры-кривые Коха и Серпиньского выглядят теперь как обнаруженные в реальности „главы“ из „геометрии природы“; они помогли понять лунный пейзаж, скопления галактик и многое другое столь же невыдуманное, а глазам предлежащее».
Ковер Серпиньского. Алгоритм его построения таков: берется квадрат, тремя горизонтальными и тремя вертикальными прямыми делится на девять равных квадратов и центральный удаляется (вырезается). На следующем шаге точно так же поступают с оставшимися восемью квадратами. В результате, при бесконечном числе итераций, из квадратной плоскости получается фантастический ковер, состоящий из бесчисленного количества квадратных дырок, площадь основы которого стремится к нулю.
Здесь не место описывать и разъяснять подробно новую «парадигму фракталов». В том смысле, который отражает взгляд Р. И. Пименова, можно характеризовать фрактал как не обязательно гладкое самоподобное множество. Проще говоря, любой элемент фрактала при увеличении масштаба его рассмотрения оказывается похожим сам на себя при прежнем масштабе. Посмотрите еще раз на ковер Серпиньского. Каждая его темная площадка при рассмотрении в микроскоп оказывается таким же «дырявым ковром», как и изображенный на рисунке. И чем сильнее увеличение микроскопа, тем на более глубоком уровне мы обнаруживаем это странное свойство. И нет предела такого углубления!