Для тех, кто не знаком с математическими описаниями фракталов, лучше всего будет набрать это слово в любом интернет-поисковике и любоваться неожиданными красотами графического выражения этих «„заумных“ математических конструктов».
Например, таким, какой изображен на первой странице обложки журнала.
Для нас сейчас важно осознать, что с появлением фракталов укрепилось представление о том, что дифференциальные уравнения — не универсальное средство описания физической реальности! Загадочное свойство «фрактальной размерности» реальных объектов никак не соответствует ни математическому, ни «житейскому» пониманию гладкости пространства.
С появлением фракталов стало ясно, что ни уравнение Шредингера, ни уравнение Эйнштейна, казавшиеся универсальными инструментами, пригодными в принципе для описания любой физической реальности, как раз в принципе не только для любой, но и для нашей таковыми не являются. Не все гладко в нашем мире!
Мы выбираем!
Некоторое время можно было надеяться, что все-таки большинство известных физических явлений хотя бы приблизительно можно описать с помощью дифференциальных уравнений.
Анализ, выполненный математиками, показал, что в случаях размерностей 1,2,3 и даже отчасти 5 и 6, это соответствует математической реальности. И, поскольку мы считаем наше физическое пространство трехмерным, то его характеристика, данная Б. Грином, вполне корректна.
Но, как сообщает Р. Пименов, «…Обнаружилось, что в размерности четыре ситуация совершенно иная. В той самой размерности, которая нужнее всего физике. Ибо физике нужна еще координата t сверх координат (x, y, z): без t вообще о детерминации и говорить нелепо. Прежде всего, оказалось, что существуют такие 4-многообразия, на которых НЕЛЬЗЯ ВВЕСТИ НИКАКОЙ ГЛАДКОСТИ… Обнаружено, что на R4 существует несколько… различных гладкостей…»
Это утверждение Револьта Ивановича хорошо иллюстрирует доказанная в 1976 г. американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном теорема о том, что ЧЕТЫРЬМЯ различными красками можно раскрасить бесконечное число различных карт. А карта — это как раз топологическое многообразие. Как подсказал мне математик и блестящий толкователь «математических премудростей» А. В. Коганов, которому я признателен за весьма полезные замечания, множество RM можно сопоставить известной детской развивающей процедуре раскрашивания картинок: «каждый ретушер может выбрать свои цвета для деталей контурного изображения. И набор всех возможных раскрасок аналогичен множеству всех отображений множества деталей в множество цветов». А цвета — это «топологическая размерность».
Более того! Математика утверждает, как пишет Р. И. Пименов, что «… Даже в тех случаях, когда гладкость существует, она НЕ ЕДИНСТВЕННА для размерностей, начиная с 4… Объекты для разных гладкостей устроены существенно по-иному, они не изоморфны, значит, надо уметь ВЫБИРАТЬ СРЕДИ ЭТИХ ОБЪЕКТОВ. А мы не умеем. Нам не было нужды прежде проводить такой выбор, и мы не научились.
Может быть, мы научимся справляться с релятивностью гладкости. Не знаю. Я ведь пишу не о будущем, а о прошлом и о настоящем. В настоящем мы не умеем, в прошлом мы и не подозревали, что должны уметь».
Вот ключевая мысль пименовского эссе! Здесь Револьт Иванович обращает внимание на то, что разные гладкости не изоморфны.
Изоморфизм — «одинаковость формы». А если нет изоморфизма, значит, пространства имеют разные структуры, а неизоморфные объекты и «устроены по-разному».
Так, бурные политические события на рубеже тысячелетий привели к тому, что политические карты мира 1990 и 2011 гг. топологически совершенно разные объекты!
Почти одновременно с Р. И. Пименовым на экзотические гладкости и их применение к теории пространства-времени в 1987 году обратил внимание и А. К. Гуц, который тогда же обсуждал эти проблемы с Р. И. Пименовым.
Итак, даже в «классических случаях», описываемых «нашим» четырехмерным пространством-временем, мы, оказывается, каким-то образом ВЫБИРАЕМ среди множества РЕАЛЬНЫХ форм существования объектов только одну и живем в этом своем выборе!