ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Получим решение уравнения (4.7) геометрически, придав показательной функции е-ω0t, которую записывают также в виде exp(ω0t), геометрический смысл, аналогичный геометрическому смыслу тригонометрических функций.
Построим на плоскости (х, у) график гиперболы у = 1/х и обозначим буквой S площадь криволинейного треугольника ОО'А (рис. П1).
Тогда проекция точки А на ось Ох и есть x(S) = ехр(S). Это определение можно пояснить по-другому. Площадь ОО'А равна площади О'Ах(S)1, так как эти фигуры получаются вычитанием равновеликих треyгольников OAx(S) И OO'1 из одной и той же фигуры OO'Ax(S). Площадь O'Ax(S)1 по обычному определению есть натуральный логарифм: S = logex(S) = ln x(S), а x(S) = exp(S) — это просто обратная функция. Ясно теперь, что число е определяется условием е = x(1).
Если точка А движется по гиперболе так, что площадь S равномерно растет со временем, т. е. S = ω0t, то x(S) = exp(ω0t), а y(S) = 1/x(S) = exp(-ω0t). С помощью этого построения легко найти производную показательной функции. Площадь ΔS бесконечно малого прямоугольника x(S)AA'x(S + ΔS) равна [x(S + ΔS) - x(S)]y(S) = ΔS, откуда следует, что
[x(S + ΔS) - x(S)]1/ΔS = 1/y(S) = x(S),
т. е. Δ(eS)/ΔS = еS. Когда S = ω0t, то отсюда следует, что
Δ(eS)/Δt = Δx/Δt = ω0eω0t,
т. е. х' = ω0х. Точно так же у' = -ω0у, и мы показали, что у = ехр (-ω0t) — решение уравнения (4.7). Самое общее решение можно получить, если взять S = ω0(t + t0), т. е. просто сдвинуть начало отсчета времени.
Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(ω0t) и sin(ω0t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ω0t.
Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).
Поделенные на 
проекции X(S) и Y(S) точки А на эти оси называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом аргумента S и обозначаются следующим образом:
Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.
Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: eS1+S2 = eS1 • eS2. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (eS - e-S), ch S = 1/2 (eS + e-S).