2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим 
= ψ (рис. ПЗ).
Отсюда очевидно, что ψ = (π - φ)/4 и tg ψ = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ΔS при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА) 
(ОА') и углом -Δψ = 
, т. е. ΔS = -½Δψ·(ОА)2. Так как (ОА) = ехр(S)/cos ψ, то отсюда следует, что
Возвращаясь к углу φ, находим, что
Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ½ω0t. Тогда φ' = 2ω0cos(φ/2), а условие tgψ = exp(-2S) дает
Мы показали, что угол φ(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t0. Если угол φ близок к π, то для α = (π - φ)/4 получим из (4.9), что α = ехр(-ω0t) (так как tg α α). Таким образом, α удовлетворяет уравнению (4.7).
3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.
Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3y/4h от безразмерных переменных 
где точка обозначает производную по Т, а штрих — производную по X. Солитонное решение в новых переменных
u = 6k/ch2 [k (Х - VT)],
где k — произвольное число, а V = 1 + 4k2 (сравните это с (7.1) и (7.2)). Если заменить в уравнении КдФ и u2 на uЗ, то получим модифицированное уравнение КдФ (или мКдФ), также часто встречающееся в приложениях. Его солитонное решение имеет простой вид
u = 
k/ch [k (Х - VT)], V = 1 + k2.
Уравнение «синус-Гордона» приведено в тексте на с. 181, формула (6.11). Обычно его записывают для функции u = π + φ от безразмерных переменных Т = ω0t и Х = ω0x/v0:
Как следует из (6.5), его односолитонное решение имеет вид
Два солитона описываются решением
u = 4 aгctg [V sh (βX)/ch (βVT)],
солитон-антисолитон решением
u = 4 aгctg [V-1 sh (βVT)/ch (βХ)],
а бризер есть
u = 4 aгctg [α sin (ЬТ)/Ь сh (αХ)], α2 + Ь2 = 1.
Приведем еще солитонное решение уравнений цепочки Тоды:
где un — безразмерные координаты частиц в цепочке. Солитонное решение этих уравнений описывается формулами
α — произвольное число. Заметим, что дискретизованное уравнение КдФ имеет вид
а уравнения Тоды в континуальном пределе приводят к уравнению Буссинеска
которое иногда называют уравнением нелинейной струны.
Наконец, полезно знать простейшее уравнение нелинейной диффузии (Хаксли)
и его решение в виде уединенной волны
С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.
4. В этой книге мы не касались математической теории солитонов. Ее основы были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов. Развитие математической теории солитонов началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой был предложен метод решения уравнения КдФ (1967 г.). В следующем году П. Лакс существенно обобщил этот метод. В 1971 г. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат распространили идеи ГГKM на другие типы уравнений, в частности на нелинейное уравнение Шредингера. В том же году В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев доказали полную интегрируемость уравнения КдФ, рассматривая его как бесконечномерную гамильтонову систему уравнений. Во всех этих работах разрабатывался так называемый метод «обратной задачи рассеяния», в котором решение нелинейных уравнений сводилось к решению некоторых линейных уравнений, связанных с квантово-механической теорией рассеяния. В том же году Р. Хирота предложил прямой метод построения солитонных решений различных уравнений, использующий более простой математический аппарат. С работы Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура (1973 г.) началась систематизация интегрируемых уравнений и классификация различных типов солитонов, в частности была доказана полная интегрируемость уравнения «синус-Гордона» и начались поиски других солитонов. В 1974 — 1975 гг. был найден общий подход к построению точных периодических решений уравнения КдФ (С. П. Новиков и др.), опирающийся на глубокие математические результаты Римана, Абеля и Якоби. Развитие этого подхода недавно привело к установлению нетривиальных связей между математической теорией солитонов и теорией струн.