*) Как мы уже говорили, «досадным» исключением оставалась лишь гидродинамика.
Почему линейность так упрощает решение задачи? Проще всего это понять на простых примерах. Рассмотрим уравнение ах + y = 0, решения которого — это пары чисел (x, у), при подстановке которых оно обращается в тождество. Ясно, что всякое решение можно записать в виде (х0, -ax0), где x0 — произвольное число. Если изобразить решения точками на плоскости, то все решения лежат на прямой ОА, проходящей через точки О = (0, 0) и А = (1, -a). Если мы знаем только одно решение А, то, пользуясь линейностью, можно получить все решения умножением на произвольное число: х0А = (х0, -aх0). Математик скажет, что совокупность всех решений этого уравнения образует линейное одномерное многообразие. Для определения всех его точек достаточно задать одну точку, отличную от О (0, 0), например, А = (1, -a). Если 
— две точки этого многообразия, то точка А3 = c1A1 + с2А2 = 
, при любых с1 и с2 тоже принадлежит этому многообразию (т. е. точка А3 тоже лежит на прямой ОА).
Точно также можно найти все решения уравнения ах + by + z = 0, т. е. тройки чисел (x, y, z), при подстановке которых уравнение обращается в тождество. Можно убедиться, что достаточно знать два решения, например, 
, а все остальные получаются их линейными комбинациями, т. е. 
. Это пример двумерного линейного многообразия. Геометрически можно изобразить его как плоскость в трехмерном пространстве (попробуйте проверить эти утверждения и нарисовать такую плоскость).
Рассмотрим теперь более близкий к физике пример колебаний грузика на пружине. Отклонение грузика от положения равновесия x(t) подчиняется уравнению Ньютона 
, где а(t) — ускорение грузика в момент t, ω0 — круговая частота, ω0 = 2π/Т, а Т — период колебаний грузика. Если x1(t) и x2(t) — два решения этого уравнения, описывающие какие-то два движения, то и любая их линейная комбинация 
— тоже решение (т. е. х3(t) — возможное движение) *). Совокупность всех решений также образует линейное многообразие.
*) Так как ускорение a(t) линейно зависит от x(t).
Рассмотрим два движения: x1(t) = cos(ω0t) и x2(t) = sin(ω0t). Взяв 
, можно написать произвольную линейную комбинацию из x1 и x2: 
. Так получается самое общее выражение для отклонений грузика при колебаниях с амплитудой хM и фазой φ. По аналогии с рассмотренными нами алгебраическими уравнениями можно сказать, что линейное многообразие возможных колебаний двумерно. Каждое колебание грузика можно представить точкой на плоскости (с1, с2), и эти точки также образуют линейное многообразие.
Над этими простыми примерами стоит как следует подумать. Важно понять, во-первых, что любое колебание грузика можно представить в виде суммы двух линейно независимых, т. е. не выражающихся друг через друга в виде линейных комбинаций колебаний x1 = cos(ω0t) и x2 = sin(ω0t) (вместо этих можно взять и другие линейно независимые решения). Наоборот, пусть известны два возможных колебания x1(t) и x2(t), отношение которых не постоянно, — такие колебания будут линейно независимыми. Тогда любое другое движение можно получить, подобрав подходящие числа с1 и с2 и складывая колебание с1x1(t) с с2x2(t). Важно, что при этом не нужно знать даже само уравнение. Достаточно иметь два независимых колебания и знать, что выполнен принцип линейности или принцип сложения колебаний.