Это уравнение, очевидно, нелинейно. Даже если известны какие-то два его решения φ1(t) и φ2(t), новое решение их сложением не получишь. Ясно также, что умножение решения на число с 
1 не дает нового решения: вторая производная от сφ1 равна сφ"1, а 
. Правда, есть простой случай, когда φ1 + φ2 тоже есть решение, но, к сожалению, этот случай не интересен, так как дает просто разное описание состояния покоящегося маятника. Действительно, уравнение имеет простые решения φ = 
... Первая серия соответствует устойчивому положению равновесия маятника внизу (минимум потенциальной энергии). Грузик покоится, его скорость, ускорение и действующая на него сила равны нулю. А вторая серия — это неустойчивое положение равновесия в крайней верхней точке (максимум потенциальной энергии). Если грузик чуть-чуть отклонится от этого положения, то он придет в движение. Так как в реальном физическом мире всегда остаются какие-то малые неконтролируемые воздействия на грузик («возмущения»), долго находиться в этом состоянии он не может.
Малые колебания маятника
Чтобы подступиться к решению нелегкой задачи о движениях маятника, рассмотрим сначала малые колебания, когда угол настолько мал, что можно положить sin φ 
φ. Уравнение теперь становится линейным (это и есть линеаризация!):
, и можно угадать (или вспомнить!) его решение φ = φM(ω0t) *), которое равно нулю при t = 0. Благодаря линейности уравнения максимальное значение угла φM формально может быть произвольным числом, но мы, конечно, должны помнить, что при больших значениях φM наше приближение не годится. Поэтому число φM должно быть таким, что sin φM φM.
*) для этого достаточно вспомнить правило дифференцирования тригонометрических функций. Ниже это движение будет построено другим, геометрическим способом.
Этим решением, разумеется, не исчерпывается все множество решений. Мы заранее предположили, что φ(0) = 0, и этим отбросили, например, решение φ = cos (ω0t), которое тоже легко угадать. Пользуясь линейностью, теперь можно найти и общее решение, складывая sin (ω0t) и cos (ω0t), умноженные на произвольные амплитуды. Ясно, что этим способом получается любое колебание, так как первое решение позволяет получить любое значение скорости в начальный момент, а второе — задать любое начальное положение.
Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение φ = φMsin(ω0t) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t0 (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как φ = φMsin[ω0(t + t0)].
Нетрудно проверить, что это решение при любых t0 удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение φ = φMsin(ω0t) возможно, то и движение φ = φMsin[ω0(t + t0)] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором φM и t0 можно задать любые начальные значения скорости и положения.
Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ω0 (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ω0cos α, где α = ω0t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка (OS) = sin ω0t, и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу, т. е. v = ω0cos(ω0t). Полное ускорение α направлено к центру и равно 
(радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу, т. е.