О подобии и размерностях
Малое с великим схоже,
Хоть и разнится на вид.
Принцип подобия Ньютона—Гука оставался в забвении более ста лет, пока его не возродил Фурье в упоминавшейся выше работе «Аналитическая теория теплоты». Он ввел очень важные понятия размерности физической величины и принцип однородности по размерностям. Измерение всех механических величин сводится к измерению нескольких основных, в качестве которых обычно берут длину (размерность L), время (размерность Т) и массу (размерность М). Остальные величины назовем «производными».
Так, измерение площади сводится к измерению длин. Чтобы измерить площадь прямоугольника S, мы измеряем длины его сторон и перемножаем их. Если обе стороны умножить на одно и то же число с, то площадь умножится на с2 . Это означает, что размерность площади равна квадрату размерности длины, и этот факт можно записать с помощью «формулы размерности» [S] = L2. Формула размерности для S говорит нам, что площади любых фигур умножаются на одно число с2, если все линейные размеры умножить на с (например, при фотоувеличении). Если бы мы не знали, как вычислить площадь круга радиуса R, то из формулы размерности получили бы, что S = cR2, где c — некоторое число, о котором формула размерности ничего не говорит. Измерив c для какого-нибудь круга, мы с помощью формулы размерности будем знать, как вычислить площадь любого круга.
Точно так же, исходя из определения скорости равномерного движения v = (x2 - x1)/(t2 - t1), можно написать для нее формулу размерности [v] = LT-1. Она просто означает, что при увеличении всех расстояний в cL раз и всех промежутков времени в cТ раз скорость умножится на число cL/cT. Обычно когда записываются формулы для физических величин, они всегда сопровождаются указанием на единицы измерения (S [см2], v [см • с-1] и т. д.). Это указание одновременно дает нам и размерность величины. Так как ускорение измеряется, скажем, в см • c-2, то формула размерности для ускорения есть, очевидно, [α] = LT-2.
Аналогично легко найти формулы размерности для силы [F] = MLT-2, для энергии [Е] = ML2T-2 и для других производных величин. Показатели степеней в формулах размерности называются показателями размерности. С ними можно обращаться, как с обычными показателями степени.
Например, возьмем формулу «сила = масса × ускорение». Если увеличить все линейные размеры в cL раз, промежутки времени в cT раз и массы в сM раз, то ускорение увеличится в cL/c2T раз, а сила в сMcL/c2T раз. Это мы и запишем с помощью формулы для силы. Очевидно, что ее можно получить и так: [F] = М [а] = MLT-2, т. е. с формулами размерности можно обращаться, как с обычными формулами.
Принцип однородности по размерностям требует чтобы обе части равенства, выражающего физический закон, имели одинаковые формулы размерности. Это правило хорошо известно и используется для проверки правильности полученных при вычислениях соотношений. Если мы, например, вычисляли объем какой-то сложной фигуры и получили для него выражение, измеряемое в квадратных сантиметрах (размерность L2), то нужно искать ошибку в вычислениях. Особенно интересно, однако, обратное применение этого принципа для получения самих формул.
Получим, например, закон Галилея для свободного падения тела. Пройденный за время падения t путь s может зависеть еще от массы тела m и от действующей на него силы mg. Мы можем предположить поэтому, что s = ktdmb(mg)с, где d, b, с, k — некоторые числа. Формула размерности для правой части есть TdMb+c[αс] = Mb+cTd-2cLс. Формула размерности для левой части [s] = L. Приравнивая показатели размерности, находим с = 1, d - 2с = 0, b + с = 0, т. е. d = 2, b = -1, так что s = kgt2 , где k — неизвестное число. Его уже нельзя определить из соображений подобия и размерности.