Найдем формулу Гюйгенса для линейных колебаний маятника. Период Т может зависеть от длины l, массы грузика m и действующей на грузик силы f, т. е. Т = dmafblc. Отсюда находим уравнение размерностей [Т] = Mα+bLb+cT-2b, т. е. а + b = 0, b + с = 0, -2b = 1. для периодов колебаний получаем формулу
При f = mg получается формула Гюйгенса, но с неизвестным множителем d.
Интересно, что этим способом мы получили более общую формулу для периода колебаний, которая годится не только для маятника в поле силы тяжести. Например, если грузик имеет электрический заряд q и помещен в однородное и постоянное электрическое поле Е между обкладками конденсатора, то на него действует сила f = mg + qE. Зная формулу Гюйгенса, мы определяем d и для маятника в электрическом поле сразу находим период колебаний
Конечно, таким простым способом можно получить полный ответ далеко не всегда. Рассмотрим нелинейные колебания маятника в поле силы тяжести. Теперь зависимостью периода от амплитуды, как мы сделали это выше, пренебречь нельзя. Небольшое размышление показывает, что наши рассуждения остаются верными, но d нельзя считать просто числом — d оказывается функцией безразмерного выражения, зависящего от амплитуды колебания, например, от отношения длины дуги sM = lφM к длине маятника l. Таким образом, для периода произвольных колебаний получаем
Так как при малых значениях φM должно быть d 
1, то функция d(φM) удовлетворяет условию d(φM) → 1 при φM → 0.
Легко сообразить, что d(φM) 
1. Действительно, [sin φ] 
[φ] и возвращающая сила для нелинейного маятника всегда меньше, чем для линейного маятника. Нелинейная сила дает меньшее ускорение грузику на всем пути, а значит, период нелинейного колебания всегда больше периода линейного колебания. Это отличие возрастает с ростом амплитуды φM. Можно доказать, что d(φM) возрастает с ростом φM и что период неограниченно возрастает, если φM → π.
Итак, совсем простые средства позволяют довольно много узнать о свойствах очень непростой системы. Здесь, однако, уместно сделать предостережение. То, что маятник непростой прибор, по-видимому, ясно. Недаром он послужил Галилею, Гюйгенсу и Ньютону одним из основных инструментов, с помощью которых они открыли законы механики. Хорошо послужит он и в наших попытках разобраться с нелинейными явлениями.
А вот простота принципа подобия и соображений размерностей несколько обманчива. Это довольно «сильный» принцип, но его применение требует очень хорошего понимания физической сущности явления, к изучению которого он применяется, а общих правил как достичь такого понимания — нет *). Применение принципа подобия в более сложных задачах — это в какой-то мере искусство. Потому-то так долго и не понимали это открытие Ньютона, а когда поняли, то начались бесконечные споры о его смысле, возможностях применения в тех или иных задачах и даже о его полезности. Эти споры не вполне затихли и сегодня. До сих пор современно звучат слова, сказанные 70 лет назад большим знатоком и пропагандистом анализа размерностей Рэлеем: «Меня часто удивляет, что даже весьма крупные ученые уделяют столь незначительное внимание великому принципу подобия. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как новые «законы», которые на самом деле можно было бы получить в течение нескольких минут». К сожалению, мы не сможем уделить этому принципу достаточно внимания и рекомендуем читателю самостоятельно тренироваться в открытии с его помощью простых физических законов.
*) Подумайте, почему в живой природе нет подобия. Может ли существовать в точности подобный человеку великан, все размеры которого в 10 раз больше размеров среднего человека!
В качестве упражнения найдите методом размерностей ускорение точки, движущейся равномерно по окружности, и определите период малых колебаний тяжелой невязкой жидкости (например, ртути) в U-образной трубке. Некоторые другие примеры встретятся позже, а сейчас настало время вспомнить еще более великий принцип.