Сохранение энергии
Попался на качели,
Качайся, черт с тобой!
Кинетическая энергия грузика, подвешенного на нити и совершающего малые колебания, равна 1/2mv2 = 1/2ml2(φ')2, а потенциальную энергию легко найти с помощью рис. 4.5.
Так как (ОА) = 2l sin(φ/2), то (ОН) = 2l sin2(φ/2), и потенциальная энергия равна 2mgl sin2 (φ/2). Полная энергия Е = 1/2ml2(φ') + 2mgl sin2(φ/2).
Удобно намного преобразовать это соотношение, сделав все его члены безразмерными:
(φ')2/ω02 + 4 sin2 (φ/2) = 2Е/mω02 l2 . (4.3)
В правой части здесь написано отношение полной энергии маятника к кинетической энергии точки с массой m, равномерно вращающейся по окружности радиуса l с периодом 
. Обозначим эту энергию буквой Е0, так что правая часть равна отношению Е/Е0. Если амплитуда качаний φM мала, то sin(φ/2) 
φ/2, и закон сохранения энергии (4.3) имеет совсем простой вид
(φ')2/ω02 + φ2 Е/Е0, Е0 = 1/2mω02 l2. (4.4)
Полную энергию удобно выразить через амплитуду φM. В крайней точке, где φ = φM, угловая скорость равна нулю. Из уравнения (4.3) поэтому следует, что
Е/Е0 = 4 sin2(φM/2) φM2,
где приближенное равенство, как всегда, относится к малым колебаниям.
С законом сохранения энергии связаны два новых способа наглядного графического изображения движений и других механических систем. Обычный способ — это изображение зависимости φ(t). Например, график простого гармонического колебания φ = φMsin(ω0t) позволяет наглядно представить положение грузика в разные моменты времени (рис. 4.6).
С помощью этого графика можно также найти скорость грузика в любой заданный момент. Она определяется углом наклона касательной BА к кривой в точке А с координатами (t, φ(t)), т. е. φ' = tg α. На графике, однако, не видно, как распределяется полная энергия при движении и как она связана с амплитудой. Для наглядного представления изменения кинетической и потенциальной энергий грузика нарисуем энергетическую диаграмму.
Нарисуем зависимость потенциальной энергии грузика U(φ) от его положения. В формуле (4.4) потенциальную энергию представляет слагаемое φ2, а кинетическую Т — слагаемое (φ')2/ω02. На графике удобнее откладывать отношения U/Е0, Т/Е0, Е/Е0.
Отложим по горизонтальной оси отрезок ОА, длина которого равна φ(t), а в направлении вертикальной оси отложим отрезок (АА2) = Е/Е0, причем (АА1) = U/Е0, (А1А2) = Т/Е0 (рис. 4.7, б). Так как полная энергия постоянна, то точка А2 при изменении t будет двигаться по прямолинейному отрезку А2М, а точка А' — по параболе (U(φ)/Е0) = φ2. На энергетической диаграмме видно, как перераспределяется полная энергия между кинетической и потенциальной составляющими при различных значениях φ и как амплитуда связана с полной энергией. Если нарисовать над энергетической диаграммой график φ(t) (рис. 4.7, α), то можно наглядно увидеть зависимость кинетической и потенциальной энергии от времени. Когда маятник движется из нижнего положения к крайнему правому, где φ = φM, изображающая точка А2 движется направо до точки М, а затем возвращается налево. Как при этом меняются кинетическая и потенциальная энергия, видно достаточно ясно, но скорость определять не очень удобно (нужно вычислять квадратный корень из длины отрезка А1А2). Чтобы следить также и за положением и скоростью грузика, удобно представить движение еще одним способом.
Нарисуем под нашими двумя диаграммами еще одну, на которой по оси абсцисс по-прежнему будем откладывать значения φ, а по оси ординат отложим значения φ'/ω0 в тот же момент времени (рис. 4.7, в). Тогда при движении грузика точка А3 будет описывать окружность с радиусом, равным φM =