*) См. о нем в книге: Замечательные ученые. — М.: Наука, 1980. — Библиотечка «Квант», вып. 9, в очерке о Софье Васильевне Ковалевской, талант которой он высоко ценил.
Впервые для этих целей его применил в 1885 г. французский математик, преподаватель Политехнической школы **) в Париже Анри Леоте (1847—1916). Он в основном занимался различными проблемами механики и использовал фазовые диаграммы для изучения работы некоторых автоматических регуляторов. Леоте не пытался создать какую-либо общую математическую теорию, и его подход к фазовым диаграммам был, скорее, физическим. Он не знал, что за три года до этого были уже заложены основы более общей математической теории. В 1882 г. 28-летний французский математик Анри Пуанкаре (1854—1912) начал публиковать серию работ под названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», в которых он разработал качественный и геометрический подход к изучению решений дифференциальных уравнений.
Этот подход радикально отличался от принятых в то время представлений о том, что значит решить дифференциальное уравнение. Сам Пуанкаре это очень ясно понимал: «Итак, необходимо изучать функции, определенные дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям. Полное изучение функций состоит из двух частей: 1) качественной (так сказать), или геометрического изучения кривой, определенной функцией; 2) количественной, или вычисления значений функций... Так же для изучения алгебраической кривой начинают с того, что строят эту кривую, как говорят в курсах элементарной математики, т. е. находят, какие ветви кривой замкнуты, какие бесконечны и т. д. После этого качественного изучения кривой можно найти некоторое число отдельных точек.
**) Самое знаменитое высшее учебное заведение Франции того времени. В Политехнической школе учились Ампер, Араго, Френель, Пуассон, Коши и другие известные ученые, в том числе Леоте и Пуанкаре.
Естественно, что именно с качественной стороны должна начинаться теория всякой функции, и вот почему в первую очередь возникает следующая задача: построить кривые, определяемые дифференциальным уравнением. Это качественное изучение; когда оно будет проделано полностью, то принесет самую большую пользу численному анализу функций... Впрочем, это качественное изучение и само по себе будет иметь первостепенный интерес. Различные и чрезвычайно важные вопросы анализа и механики могут быть сведены к нему».
В наше время такие взгляды кажутся совершенно естественными, почти сами собой разумеющимися. Однако сто лет назад эти идеи выглядели слишком необычными и не могли быть сразу усвоены и признаны. Мешало этому усвоению также и сильное отклонение интуитивных, геометрических рассуждений Пуанкаре от принятых тогда канонов математической строгости доказательств — многие утверждения не были доказаны, а некоторые, как выяснилось впоследствии, оказались ошибочными. Тем не менее по мере того, как росла слава Пуанкаре, которого по праву считают величайшим французским математиком второй половины прошлого века *), его труды и идеи привлекали все большее внимание. Лет через двадцать-тридцать (!) начали появляться исследования, в которых качественная теория Пуанкаре получила развитие и строгое обоснование. Развитие этой теории продолжается и в наше время, и в любой книге, посвященной нелинейным дифференциальным уравнениям или нелинейным колебаниям, можно найти многократное упоминание его имени и ссылки на его работы.
*) Подобно Эйлеру и Гауссу он охватывал своими работами почти все основные направления в современной ему математике и физике. Будучи профессором Сорбонны, с 1881 г. до своей преждевременной смерти он каждый год читал лекции по новому предмету!
Иной была судьба Леоте. Связь его исследования с идеями Пуанкаре не была замечена ни самим Леоте, ни Пуанкаре, ни кем-либо другим, а статья Леоте была полностью забыта. Другие его труды по теории машин и механизмов, по различным приложениям математического анализа были высоко оценены, и он стал с 1890 г. членом Парижской академии наук. Но эта работа пребывала в забвении, пока о ней не вспомнил замечательный советский физик Александр Александрович Андронов (1901—1952). Он был учеником Леонида Исааковича Мандельштама (1879—1944) и под его влиянием занялся проблемами нелинейных колебаний. Еще будучи аспирантом Мандельштама, он «открыл» для себя труды Пуанкаре и сразу понял, что разработанный в них математический язык наиболее подходит для решения увлекших его проблем. Мандельштам эту идею чрезвычайно одобрил и поддержал, и в результате выросло целое направление, в дальнейшем детально разработанное уже Андроновым и его учениками (в особенности надо упомянуть А. А. Витта) и обогатившее не только физику и технику, но и саму качественную теорию дифференциальных уравнений. Как говорил Пуанкаре: «Физика не может обойтись без математики, которая представляет ей единственный язык, на котором она может говорить.