Итак, мы нарисовали полный фазовый портрет маятника (рис. 4.9). Важную роль играют на нем кривые 2 и 
которые отделяют фазовые траектории колебательных движений (кривая 1) от фазовых траекторий вращательных движений (кривые 3, 3) и называются сепаратрисами (от лат. seрaro — отделять). Эти кривые и соответствующие им графики движения играют, как мы скоро увидим, большую роль в теории солитонов. Форма солитона Френкеля и Конторовой (как и многих других солитонов) определяется кривой, совпадающей с графиком движения, соответствующим сепаратрисе.
«Солитонное» решение
уравнения маятника
Общие решения нелинейного уравнения маятника можно выразить через так называемые эллиптические функции Якоби (мы их уже упоминали, когда говорили о форме нелинейных волн, (рис. 2.2).
Замечательно, однако, что движение, соответствующее сепаратрисе фазовой диаграммы, можно записать с помощью элементарных функций. Геометрический вывод этого решения приведен в Приложении, где показано, что для решения φ(t), обращающегося в нуль при t = 0, выполнено простое соотношение
Общее решение уравнения (4.6) можно получить отсюда сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.8) t на t0. Чтобы хорошо понять это решение, выразим φ непосредственно через t:
График этой функции легко построить, вспомнив, как выглядят графики показательной функции и aгctg (рис. 4.11, 4.12). Когда t растет от -
до +, α убывает от + до 0.
При этом aгctg α пробегает значения от π/2 до 0, а φ меняется от -π до +π. Таким образом, написанное решение соответствует сепаратрисе, идущей из точки -π в точку +π.
Вспоминая, что φ удовлетворяет уравнению (4.6), после несложных тригонометрических преобразований можно найти, что
Здесь мы ввели в употребление так называемый гиперболический косинус
ch(ω0t) = 1/2(eω0t + е-ω0t),
часто встречающийся в теории солитонов. (Геометрическое определение этой и других гиперболических функций можно найти в Приложении.) Легко построить график этой функции (рис. 4.13).
Теперь легко получить графики φ(t) и φ'(t), описывающие особое движение маятника (рис. 4.14). Эти две замечательные и простые функции стоит как следует изучить и запомнить.
Движения маятника и «ручной» солитон
Качественный характер изученных нами движений маятника полезно изучить на простых опытах. Проще всего сделать это с помощью обычного велосипедного колеса. Перевернув велосипед, можно сделать из переднего колеса неплохой маятник, способный совершать колебательные и вращательные движения. Для этого прикрепим на ободе кусочек пластилина или какой-либо иной грузик. Если колесо не сбалансировано, лучше его сначала сбалансировать, так чтобы оно могло покоиться в любом положении. Внешняя сила, действующая на колесо, определяется только дополнительным грузиком, а в движении участвует вся его масса.
Чтобы оценить период движения колеса, приближенно заменим его однородным тонким обручем с радиусом, примерно равным расстоянию l от центра до внутренней части обода, и с массой, примерно равной массе всего колеса М. Приложенная сила равна -mg sin φ, а ее момент равен mgl sin φ, где m — масса дополнительного грузика, а φ — угол отклонения его от вертикали, отсчитываемый точно так же, как и для обычного маятника. Мысленно разделим обруч на n одинаковых маленьких частей. Если к каждой приложить силу -(1/n) mg sin φ, направленную по касательной к обручу, то приложенный полный момент силы равен -mgl sin φ, так что такое «разделение» внешней силы допустимо. Для каждой маленькой части легко написать уравнение движения
поскольку все части движутся как целое и их ускорения одинаковы. Таким образом, мы получили уравнение, совпадающее с уравнением движения обычного маятника φ" = -ω02 sin φ, но теперь ω02 = mg/Ml. Этот вывод не зависит от сделанных приближений, приближенным получилось лишь выражение для ω02 (в точной формуле вместо Ml надо подставить I/l, где I — момент инерции колеса; для обруча I = Ml2).