Главный ее недостаток — большие потери на трение в резине. Достоинство ее — небольшая скорость распространения волн. Это позволяет наблюдать бегущие по цепочке волны невооруженным глазом. Скорость распространения возбуждений можно изменять, утяжеляя скрепки. Интуитивно ясно, что с увеличением массы скрепок эта скорость должна уменьшаться.
Если скрепки закреплены на ленте в их центрах тяжести, так что сила тяжести не создает дополнительного вращательного момента, действующего на скрепки, то эта система вполне аналогична линейной цепочке. При этом угол φn аналогичен отклонению yn, а роль массы грузика играет момент инерции скрепки.
Вместо возвращающей упругой силы нужно рассматривать момент упругой силы, возникающий при скручивании резинки. Короче, аналогия здесь такая же, как аналогия колебаний грузика на пружинке и крутильных колебаний.
Еще одно существенное отличие нашей грубой модели от идеальной бесконечной цепочки связано с отражением волн от границ. Это происходит примерно так, как указано на рис. 5.3, где изображены графики отклонений грузиков или скрепок в последовательные моменты времени. Горбику соответствует смещение грузиков в положительном направлении оси х, впадине — в отрицательном. Когда горбик подходит к стенке, крайняя, закрепленная пружина начинает тянуть крайний грузик влево, он тянет соседние грузики, и в результате направо побежит впадина.
Если вместо продольных движений грузиков изучать их поперечные движения (в направлении оси у в плоскости ху), то графики рис. 5.3 изображают форму поперечного импульса в цепочке. Наблюдать такие импульсы и волны можно с помощью мягкой и достаточно длинной резиновой трубки. Проделать соответствующие простые опыты несложно, и читатель может проявить здесь фантазию и изобретательность.
В резиновой трубке или ленте, закрепленных на концах, легко возбуждать стоячие волны. Особенно легко возбуждается колебание, в котором нетрудно узнать «полусинусоиду». При этом все точки колеблются в одинаковой фазе, и амплитуда колебаний максимальна в середине («пучность» стоячей волны). Длина такой стоячей волны равна удвоенной длине ленты *). Труднее возбудить колебание, в котором остается в покое середина («узел» стоячей волны). На всей ленте при этом укладывается «период синусоиды», и длина волны равна длине ленты. Чтобы возбудить такое колебание, нужно оттянуть ленты в противоположные стороны на равных расстояниях от краев, удерживая середину в покое. Легче наблюдать такую волну на приборчике со скрепками. Возбудив какие-либо колебания в этой цепочке (лучше всего это делать быстрым, легким щелчком по скрепке), можно просто остановить среднюю скрепку. При этом «выживет» колебание, в котором средняя скрепка покоится.
*) Ниже мы увидим, что синусоидальную стоячую волну можно представить в виде суммы двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях. Длина стоячей волны, по определению, совпадает с длиной этих бегущих волн.
Стоячие волны разных типов, в которых на всей длине ленты укладывается разное число N полуволн, называются нормальными модами колебаний (или просто модами; это слово происходит от латинского modus, т. е. образ, способ). Моды с малыми значениями N называются низшими, а с большими — высшими. Моду с N = 1 естественно называть основной, она возбуждается легче всего. При произвольном начальном возбуждении нашей системы возбуждаются разные моды, однако высшие моды не только труднее возбуждаются, но и быстрее затухают из-за трения. Потому-то их и труднее наблюдать.
Понять, что такое моды и как они себя ведут, проще всего на модели одномерной цепочки конечной длины с закрепленными концами. Сначала посмотрим, как колеблется простейшая цепочка из двух атомов. Пусть их равновесные положения равны x01 = α и x02 = 2α, а крайние пружинки закреплены в точках x00 = 0 и x03 = 3α (см. рис. 5.1). Легко составить уравнения движения атомов.
Прежде чем это сделать, введем одно небольшое новшество в обозначениях. До сих пор нам приходилось иметь дело лишь с производными по времени, и мы их обозначали штрихом. При изучении колебаний в распределенных системах встречаются не только производные по времени, с помощью которых записываются скорости и ускорения отдельных частичек, но и производные по координате. Они характеризуют изменение отклонения при переходе от одной частицы к другой в один и тот же момент времени. Поэтому условимся обозначать производную по времени не штрихом, а точкой, а штрих сохраним для производной по координате. Теперь мы будем обозначать скорость n-гo грузика как