Это движение уже не сводится к простому гармоническому колебанию каждой из частиц. В общем случае, т. е. при произвольных значениях А1, А2, t1, t2, движение системы не будет даже периодическим.
Упражнение: рассмотрите простой случай, когда А1 = А2 = 1, t1 = t2 = 0, и покажите, что из-за несоизмеримости частот ω1 и ω2 не существует такого значения Т, при котором y1(Т) = y1(0), y2(Т) = y2(0). Это и означает, что такое движение не может быть периодическим.
Ясно, что формулы (5.6) дают самое общее движение. Начальное состояние определяется координатами и скоростями частиц, т. е. значениями y1(0), y2(0), 
. Формулы (5.6) и их производные по времени позволяют найти неизвестные константы А1, А2, t1, t2 через начальные координаты и скорости.
Замечательно, что нам удалось не только найти самое общее движение, но и разложить его на сумму самых простых из известных нам движений.
Конечно, в такой простой задаче то же самое можно было бы сделать и более простым способом. Например, если сложить и вычесть уравнения (5.1), то легко получить два независимых уравнения для (y1 + y2) и (y1 - y2), которые сразу решаются и приводят к формулам (5.6).
Однако наш чуть более длинный способ решения имеет преимущество — он легко обобщается на случай цепочки с любым числом частиц.
В качестве упражнения найдите частоты трех мод колебаний цепочки, состоящей из трех частиц. Для частот должен получиться результат: 
. Сами моды выглядят, как показано на рис. 5.5. Точный смысл этого рисунка (как и рис. 5.4) состоит в том, что моду с номером М можно представить в виде
При заданном М = 1, 2, 3 индекс n пробегает три значения: n = 1, 2, 3, т. е. 
задает отклонение n-гo грузика в М-й моде. В случае двух частиц отклонения для двух мод можно написать в аналогичном виде
где М = 1, 2 и n = 1, 2.
Общую закономерность теперь нетрудно уловить и она наглядно ясна — нарисованные штрихами синусоиды соответствуют стоячим волнам. Легко также догадаться, что в цепочке из N частиц моду с номером М надо искать в виде
Уравнение движения для n-гo атома составляется точно так же, как уравнения (5.1), т. е.
Это уравнение годится и для крайних атомов — первого и N-гo. Нужно только вспомнить, что крайние пружинки закреплены, т. е. у0 = yN+1 = 0. Эти условия для предполагаемых решений (5.7) уже выполнены. Теперь должно быть ясно, как довести решение до конца. Надо подставить выражение (5.7) в уравнение (5.8) и заменить 
на -ω2Myn(М). После несложных преобразований тригонометрических функций получится соотношение для ω2M, при выполнении которого все уравнения (5.8) удовлетворяются; это выражение мы приведем без вывода
Эта зависимость частоты от номера моды изображена на рис. 5.6. Для мод с малыми номерами (низкочастотных и длинноволновых) частота пропорциональна номеру моды. Для высокочастотных мод (коротковолновых) частота выходит на предельное значение 2ω0.
Формула (5.9) определяет спектр частот собственных колебаний (мод) цепочки. Не удивительно, что в цепочке из N частиц имеется ровно N собственных частот. Нетрудно понять и происхождение предельной частоты. Если один из грузиков колеблется слишком быстро, то соседние не успевают реагировать на его движение, и возбуждение не сможет распространяться вдоль цепочки. Этот вывод легко проверить, проделав простые опыты.
Читателю стоит потратить некоторое время, чтобы самостоятельно разобраться в этих результатах. Затраченные усилия полностью окупаются. После уравнений Галилея — Ньютона и принципа сохранения энергии разложение произвольного движения на моды, или нормальные колебания, представляет собой, возможно, самой фундаментальный результат физики. Его обобщения и приложения, от простых механических задач до современных проблем физики элементарных частиц, просто невозможно перечислить.