Чрезмерное упрощение и одержимость эстетикой - это законные ловушки, которых следует избегать при применении математики в реальном мире. Но в то же время богатство и сложность биологии - это именно то, почему ей нужна математика.
Рассмотрим простой биологический вопрос. В лесу есть два вида животных: кролики и лисы. Лисы едят кроликов, а кролики - траву. Если вначале в лесу будет определенное количество лис и определенное количество кроликов, что произойдет с этими двумя популяциями?
Возможно, лисы свирепо загрызут кроликов, доведя их до полного исчезновения. Но тогда лисы, исчерпав свой источник пищи, сами начнут голодать и вымрут. В результате мы получим довольно пустой лес.другой стороны, может быть, популяция лис не такая ужпрожорливая. Возможно, они сокращают популяцию кроликов почти до нуля, но не совсем. Популяция лис все равно падает, поскольку каждая особь пытается найти оставшихся кроликов. Но затем, когда большая часть лис исчезла, популяция кроликов может восстановиться. Конечно, теперь пища для лис снова в изобилии, и, если их популяция останется в достаточном количестве, они тоже могут возродиться.
Когда нужно знать, что в итоге получится в лесу, полагаться на интуицию не стоит. Попытка "додумать" этот сценарий, как бы он ни был прост, с помощью одних лишь слов и историй недостаточна. Чтобы добиться прогресса, мы должны точно определить наши термины и точно указать их взаимосвязь - а это значит, что мы занимаемся математикой.
На самом деле математическая модель взаимодействия хищника и жертвы, которая может нам помочь, известна как модель Лотки-Вольтерры и была разработана в 1920-х годах. Модель Лотки-Вольтерры состоит из двух уравнений: одно описывает рост популяции жертвы в терминах численности жертвы и хищников, а другое - рост популяции хищников в терминах численности хищников и жертвы. Используя теорию динамических систем - набор математических инструментов, изначально созданных для описания взаимодействия небесных тел, - эти уравнения могут сказать нам, вымрут ли в конце концов лисы или кролики, или же они будут продолжать танцевать вместе вечно. Таким образом, использование математики помогает нам лучше понять биологию. Без нее мы, к сожалению, ограничены нашими врожденными когнитивными талантами. Как писал Лазебник: "Понимание [сложной] системы без формальных аналитических инструментов требует гениев, которые так редки даже за пределами биологии".
Чтобы взглянуть на кусочек биологии и понять, как его можно свести к переменным и уравнениям, требуется творческий подход, опыт и проницательность. Ученый должен проследить за беспорядочными деталями реального мира и найти его "голую" структуру, которая лежит в его основе. Каждый компонент модели должен быть определен соответствующим образом и точно. Однако как только структура найдена и уравнение написано, плоды этой дисциплины становятся очевидными. Математические модели - это способ описать теорию работы биологической системы достаточно точно, чтобы донести ее до других. Если эта теория хороша, модель можно использовать для предсказания результатов будущих экспериментов и обобщения результатов прошлых. А если запустить эти уравнения на компьютере, то модели станут "виртуальной лабораторией", позволяющей быстро и легко подставлять различные значения, чтобы увидеть, как могут развиваться различные сценарии, и даже проводить "эксперименты", которые еще не осуществимы в физическом мире. Прорабатывая таким образом сценарии и гипотезы в цифровом формате, модели помогают ученым определить, какие части системы важны для ее функционирования и, что важно, какие нет.
Такая интегральная работа вряд ли может быть выполнена с помощью простых историй, не сопровождаемых математикой. Как объяснил в своей статье 2008 года Ларри Эбботт, выдающийся теоретический нейробиолог и соавтор одного из самых распространенных учебников по этому предмету:
Уравнения заставляют модель быть точной, полной и самосогласованной, они позволяют проработать все ее следствия.Нетрудно обнаружить в разделах выводов старыхстатей по нейронауке словесные модели, которые звучат разумно, но, будучи выраженными в виде математических моделей, оказываются непоследовательными и невыполнимыми. Математическая формулировка модели заставляет ее быть самосогласованной, и, хотя самосогласованность не обязательно является истиной, самонесогласованность, безусловно, ложь.
Мозг, состоящий (в случае с человеком) из 100 миллиардов нейронов, каждый из которых является собственной кипящей фабрикой химических веществ и электричества, взаимодействующей в беспорядке со своими соседями как вблизи, так и на расстоянии, является ярким примером биологического объекта, слишком сложного, чтобы его можно было понять без математики. Мозг - это центр познания и сознания. Он отвечает за то, что мы чувствуем, как мы думаем, как мы двигаемся, кто мы есть. Здесь планируются дни, хранятся воспоминания, переживаются страсти, делается выбор, читаются слова. Это вдохновение для искусственного интеллекта и источник психических заболеваний. Чтобы понять, как все это может быть реализовано единым комплексом клеток, взаимодействующих с телом и миром, требуется математическое моделирование на нескольких уровнях.
Несмотря на нерешительность некоторых биологов, математические модели можно найти во всех уголках истории нейронауки. И если раньше это было уделом физиков-авантюристов или бродячих математиков, то сегодня "теоретическая" или "вычислительная" нейронаука - это вполне развитое подразделение нейронауки с отдельными журналами, конференциями, учебниками и источниками финансирования. Математический менталитет оказывает влияние на все изучение мозга. Как писал Эбботт: "Раньше биология была прибежищем для студентов, бегущих от математики, но теперь многиестуденты, изучающие науки о жизни по адресу, обладают солидными знаниями в области базовой математики и компьютерного программирования, а те, кто не знает, по крайней мере, чувствуют себя виноватыми в этом".
И все же не стоит полностью сбрасывать со счетов опасения биологов по поводу математических моделей. "Все модели ошибочны", - так начинается популярная фраза статистиков Джорджа Бокса. Действительно, все модели ошибочны, потому что все модели игнорируют некоторые детали. Все модели ошибочны еще и потому, что они отражают лишь предвзятое представление о процессах, которые они пытаются отразить. И все модели ошибочны, потому что отдают предпочтение простоте перед абсолютной точностью. Все модели ошибаются так же, как ошибаются все стихи; они отражают суть, если не совершенную буквальную истину. Все модели ошибочны, но некоторые из них полезны", - говорит Бокс. Если бы фермер в старом анекдоте напомнил физику, что коровы на самом деле не шарообразные, физик ответил бы: "Кого это волнует?", или, точнее, "А нужно ли нам это?". Деталь ради детали не является достоинством. Карта размером с город не имеет смысла. Искусство математического моделирования заключается в том, чтобы решить, какие детали имеют значение, и упорно игнорировать те, которые не имеют.
Эта книга рассказывает о влиянии математического мышления - заимствованного из физики, инженерии, статистики и информатики - на изучение мозга. В каждой главе по отдельным темам нейронауки рассказывается о биологии, математике и взаимодействии между ними.читателяне требуется никаких специальных знаний в области математики; идеи, лежащие в основе уравнений, будут объяснены. Не предлагается единой теории мозга; различные модели решают разные проблемы и предлагают взаимодополняющие подходы к пониманию.
Главы расположены в порядке от низкого к высокому уровню: от физики отдельных клеток до математики поведения. В этих главах рассказывается о трудностях, возникавших при объединении математики и биологии, и об ученых, которые вели эту борьбу. Они показывают, что иногда эксперименты служат основой для моделей, а иногда модели служат основой для экспериментов. Они также показывают, что моделью может быть что угодно - от нескольких уравнений на странице до бесчисленных строк кода, выполняемого на суперкомпьютерах. Таким образом, книга представляет собой гобелен из множества форм, которые могут принимать математические модели мозга. Несмотря на разнообразие тем и моделей, общие темы встречаются на всех страницах.
Конечно, все, что написано в этой книге, может быть неверным. Это может быть неправильно, потому что это наука, а наше понимание мира постоянно развивается. Это может быть неправильно, потому что это история, а в истории всегда есть больше одного способа рассказать историю. И, самое главное, она неверна, потому что это математика. Математические модели разума не являются идеальными копиями мозга, и мы не должны стремиться к этому. Однако при изучении самого сложного объекта в известной нам Вселенной математические модели не просто полезны, а абсолютно необходимы. Мозг не понять одними словами.