Глава 6: Этапы развития зрения
Конволюционные нейронные сети обрабатывают изображения, повторяя некоторые из основных особенностей зрительной системы мозга. Они состоят из нескольких основных операций. Начиная с изображения I, первым шагом является свертка этого изображения с фильтром F. Результат этой свертки пропускается через элементарную нелинейность (𝜙), чтобы получить активность для простого слоя, похожего на клетку:
Наиболее распространенной нелинейностью является положительное 
выпрямление:
Если предположить, что изображение и фильтр являются двумерными матрицами, то AS также является двумерной матрицей. Чтобы воспроизвести сложные клеточные реакции, к простой клеточной активности применяется операция 2D max-pooling. Каждый элемент матрицы сложной клеточной активности (AC) 
определяется в соответствии с:
где Pij - двумерная окрестность AS с центром в месте ij. В результате этой операции активность сложной клетки становится просто максимальной активностью участка простых клеток, от которых она получает входные сигналы.
Глава 7: Взлом нейронного кода
Шеннон определил информацию в терминах битов, которые вычисляются как логарифм обратной вероятности символа. Это также можно записать как 
отрицательное значение логарифма вероятности:
Общая информация в коде, известная как энтропия (H), является функцией информации в каждом из его символов. В частности, энтропия - это сумма информации, содержащейся в каждом символе (xi) кода X, взвешенная по его вероятности, P(xi ).
Глава 8: Движение в низких измерениях
Анализ главных компонент (PCA) может быть использован для уменьшения размерности активности популяции нейронов. Применение PCA к нейронным данным начинается с матрицы данных (X ), в которой каждая строка представляет нейрон (из N нейронов), а каждый столбец - среднюю вычитаемую активность этих нейронов за время (длиной L):
Ковариационная матрица этих данных имеет вид
Разложение по собственным значениям говорит:
где каждый столбец в Q - собственный вектор K, а 𝛬 - диагональная матрица, где записи на диагонали - собственные значения соответствующих собственных векторов. Главные компоненты данных определяются как собственные векторы K.
Для того чтобы свести полноразмерные данные к D измерениям, в качестве новых осей используются D собственных векторов (ранжированных по собственным значениям). Проецирование полноразмерных данных на эти новые оси дает новую матрицу данных:
Если D равно трем или меньше, то эту уменьшенную матрицу данных можно визуализировать.
Глава 9: От структуры к функции
Уоттс и Строгац утверждали, что многие графы реального мира можно описать как сети с малым миром. Сети с малым миром имеют низкую среднюю длину пути (количество ребер, пройденных между любыми двумя узлами) и высокие коэффициенты кластеризации.
Предположим, что граф состоит из N узлов. Если данный узел n соединен с kn другими узлами (называемыми его соседями), то коэффициент кластеризации 
этого узла равен:
где En - количество ребер, существующих между соседями n, а член в знаменателе - общее количество ребер, которые могут существовать между этими узлами. Таким образом, коэффициент кластеризации - это мера того, насколько взаимосвязаны или "кликабельны" группы узлов.
Коэффициент кластеризации для всей сети определяется как среднее значение коэффициентов кластеризации для каждого узла:
Глава 10: Принятие рациональных решений
Полная форма правила Байеса такова:
где h - гипотеза, а d - наблюдаемые данные. Член в левой части уравнения известен как апостериорное распределение. Байесовская теория принятия решений (BDT) рассматривает, как правило Байеса может направлять принятие решений, указывая, как апостериорное распределение должно быть сопоставлено с конкретным восприятием, выбором или действием.
В BDT функция потерь указывает на штраф, который налагается за принятие различных типов неправильных решений (например, неправильное восприятие красного цветка как белого и восприятие белого цветка как красного может иметь различные негативные последствия). В самой базовой функции потерь любаяневерно выбранная гипотеза влечет за собой одинаковый штраф, в то время как правильный выбор (h*) не влечет никакого штрафа:
Общий ожидаемый убыток при выборе определенной гипотезы (h) рассчитывается путем взвешивания этого убытка на вероятность каждой гипотезы:
что дает:
Поэтому, чтобы минимизировать эти потери, следует выбрать вариант, максимизирующий апостериорное распределение. То есть наилучшая гипотеза - это гипотеза с наибольшей апостериорной вероятностью.
Глава 11: Как вознаграждение руководит действиями
Обучение с подкреплением описывает, как животные или искусственные агенты могут научиться вести себя, просто получая вознаграждение. Центральным понятием в обучении с подкреплением является ценность - мера, которая сочетает в себе размер вознаграждения, полученного в данный момент, и ожидаемого в будущем.
Уравнение Беллмана определяет ценность (V) состояния (s) в терминах вознаграждения ( ), полученного, если в этом состоянии будет выполнено действие 
a, и дисконтированной стоимости следующего состояния:
Здесь - коэффициент дисконтирования, а T - функция перехода, определяющая, в каком состоянии окажется агент после выполнения действия a в состоянии s. Операция max служит для того, чтобы всегда выполнялось действие, приносящее наибольшую ценность. Вы можете видеть, что определение ценности является рекурсивным, поскольку сама функция ценности появляется в правой части уравнения.
Глава 12: Великие единые теории мозга
Принцип свободной энергии был предложен в качестве объединяющей теории мозга, которая может описать нейронную активность и поведение. Свободная 
энергия определяется как:
где s - сенсорные входы, m - внутренние состояния мозга, а x - состояния мира. Первый член в этом определении (отрицательная логарифмическая вероятность s) иногда называют "удивлением", поскольку он высок, когда вероятность сенсорных входов низка.
DKL - это расхождение Куллбэка-Лейблера между двумя распределениями вероятностей, определяемое как:
Таким образом, второй член определения свободной энергии измеряет разницу между вероятностью состояний мира с учетом внутреннего состояния мозга и вероятностью состояний мира с учетом сенсорных входов. Можно считать, что мозг пытается приблизить p(x | s), используя свои собственные внутренние состояния (q(x | m)), и чем лучше приближение, тем меньше свободная энергия.
Поскольку принцип свободной энергии гласит, что мозг стремится минимизировать свободную энергию, он должен обновлять свои внутренние состояния в соответствии с этим:
Кроме того, выбор действий (a), предпринимаемых животным, влияет на 
получаемые им сенсорные сигналы:
Поэтому действия также должны выбираться с учетом их способности 
минимизировать свободную энергию: