Завершив “Принципы математики”, я начал настойчиво искать решение парадоксов. Это было почти личным вызовом, и при необходимости я готов был потратить на них всю оставшуюся жизнь. Однако по двум причинам я отказался от этого намерения. Во-первых, проблема в какой-то момент показалась мне тривиальной, а я ненавидел все недостойное внимания и интереса. Во-вторых, сколько я ни старался, решение не приходило. На всем протяжении 1903 и 1904 годов я почти все время занимался этим вопросом, но без каких-либо признаков успеха. Первой удачей стала (весной 1905 года) теория дескрипций. Она, разумеется, не была связана с противоречиями, но позже такая связь выявилась. В конце концов мне стало совершенно ясно, что в какой-то форме учение о типах существенно важно. Не настаивая на той конкретной форме, которая придана этому учению в “Principia Mathernatica”, я остаюсь при полном убеждении, что без теории типов парадоксы разрешить невозможно.
Когда я искал решение, мне казалось, что для того, чтобы решение выглядело удовлетворительным, необходимы три условия. Первое из них и абсолютно обязательное: противоречия должны исчезнуть. Второе-весьма желательное, хотя логически не непременное: решение должно оставить в неприкосновенности как можно больше математики. Третье, трудно формулируемое: решение должно, видимо, апеллировать к так называемому “логическому здравому смыслу”, т. е. оказаться в конце концов таким, каким мы его и ожидали увидеть. Из этих трех условий первое, разумеется, признано всеми. Второе, однако, отвергается теми, кто считает, что значительные разделы анализа в их нынешней формулировке неверны. Третье условие не считают существенно важным те, кто довольствуется логической техникой. Профессор Куайн, к примеру, нашел системы, которые привлекают своей изобретательностью. Но их нельзя считать удовлетворительными, поскольку они, видимо, созданы ad hoc; и они отличаются от тех систем, которые представлял бы себе самый умный логик, если бы не знал о противоречиях. По этому вопросу, однако, вышло огромное количество трудной для понимания литературы, и я не буду касаться более тонких моментов.
Объясню общие принципы теории типов, не вдаваясь в трудные технические детали. Возможно, лучше всего будет начать с того, что имеется в виду под “классом”. Возьмем пример из домашнего хозяйства. Допустим, в конце обеда хозяин предлагает на выбор три сладких блюда, настаивая на том, чтобы вы попробовали одно, два или все три, как вы пожелаете. Сколько-линий поведения открыто перед вами? Вы можете от всего отказаться. Это первый выбор. Вы можете выбрать что-то одно. Это можно сделать тремя различными способами, и, следовательно, перед вами еще три варианта. Вы можете выбрать два-блюда. Это также возможно сделать тремя способами. Или вы можете выбрать все три, что дает одну, последнюю, возможность. Общее число возможностей, таким образом, равно восьми, т. е. 23 Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами п объектов и вы желаете знать, сколько путей имеется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же-выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2n. Если выразить это в логическом языке: класс из п-то количества элементов имеет 2n подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда п бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2n больше, чем п. Применяя это, как сделал я, ко всем веща.м во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются “вещами”. Но поскольку никто не знает точно, что означает слово “вещь” в этом утверждении, не очень-то легко тбчно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключение, к которому я пришел, состояло в том, что классы – это просто подсобное средство в рассуждении. Классы приводили-меня в замешательство уже в то время, когда я писал “Принципы математики”. Тогда я выражал свои мысли на языке, который был реалистическим (в схоластическом смысле) в большей мере, чем мне представляется сегодня правильным. Я писал в предисловии к той работе: “Обсуждение неопределенностей (indefinables), составляющее главный предмет философской логики, имеет целью ясно увидеть и прояснить для других соответствующие сущности, чтобы разум мог быть с ними знаком так же, как с красным цветом или вкусом ананаса. Там, где-как в данном случае-неопределимости получаются прежде всего в качестве необходимого остатка в процессе анализа, зачастую проще знать, что такие сущности должны быть, чем наблюдать их актуально; здесь имеется аналогия с процессом открытия Нептуна, с тем различием, что последний этап– поиски с помощью умственного телескопа сущности, которая имеет выводной характер,-нередко является самой трудной частью во всем предприятии. Признаюсь, что в случае с классами я не смог увидеть понятия, выполняющего те условия, которым должно удовлетворять понятие “класс”. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что чего-то не хватает, но чего именно, я до сих пор не обнаружил”.