Это доказательство важно для того, чтобы показать, что пифагорейская теория чисел оказывается несостоятельной в приложении к геометрии. Если мы рассмотрим линию, то, согласно Пифагору, мы должны сказать, сколько в ней единиц. Ясно, что, если мы допускаем бесконечную делимость, тогда теория чисел сразу оказывается неверной. В то же время важно понять, что это не доказывает ошибочность взгляда Пифагора. Это доказывает лишь то, что теорию чисел и бесконечную делимость нельзя рассматривать вместе или, иными словами, что они - несовместимы. От одной или от другой мы должны отказаться. Математика требует бесконечной делимости, следовательно, пифагорейская единица должна быть отвергнута. Следующий момент, на котором мы должны остановиться, касается самого приема доведения до абсурда. У единственного утверждения, которое имеет смысл, не могут быть несовместимыми непосредственные выводы. Только соединение с ним других утверждении может породить противоречие, в этом случае в двух различных доказательствах дополнительное подтверждение одного доказательства несовместимо с дополнительным утверждением другого доказательства. Так, в данном случае, у нас есть два доказательства: первое гласит, что вещи множественны, а составляющие их единицы не имеют размеров, следовательно, вещи не имеют размеров; второе, что вещи множественны и единицы имеют размеры, следовательно, вещи бесконечны по размеру. Две несовместимые дополнительные предпосылки - это: та, что единицы не имеют размера, и та, что они имеют какой-то размер. В любом случае вывод отсюда будет явно абсурдным. Из этого следует, что что-то неверно в предпосылках каждого доказательства. А именно - пифагорейская концепция единицы. Чтобы подтвердить аргументы Парменида против пустоты, Зенон выдвинул новое доказательство. Если пространство существует, оно должно быть заключено во что-то, и это что-то может быть только больше пространства, и так далее до бесконечности. Не склонный принимать этот аргумент, Зенон делает вывод, что пространства не существует. Это равнозначно отрицанию взгляда, что пространство - это пустой резервуар. Таким образом, на взгляд Зенона, мы не должны различать тело и пространство, в котором оно находится. Легко увидеть, что теорию резервуара можно было обратить против сферы Парменида, поскольку утверждать, что мир - это конечная сфера, равнозначно тому, что он находится в пустом пространстве. Зенон пытается сохранить теорию своего учителя, но сомнительно, есть ли в этом смысл, даже если говорить о конечной сфере, имея в виду, что, кроме нее, ничего не существует.
Доказательство такого рода, которое может быть повторено снова и снова, ведет к дурной бесконечности, но не всегда к противоречию. Действительно, никто в наши дни не стал бы возражать против взгляда, что любое пространство - это часть большего пространства. Для Зенона противоречие заключается как раз в том, что он считает само собой разумеющимся, будто "это есть" - конечно. Следовательно, он поставлен перед тем, что называется порочным кругом.
Доказательства этого типа в действительности являются формой доведения до абсурда. Они показывают, что основа доказательства несовместима с каким-либо другим утверждением, которое признается правильным.
Самыми известными из доказательств Зенона являются четыре парадокса о движении, и первый среди них - это история об Ахилле и черепахе. И вновь Зенон отстаивает теорию Парменида не напрямую. На пифагорейцев ложилась обязанность произвести что-нибудь лучшее, поскольку их теория не могла объяснить движение. Рассуждение таково, что, если Ахилл и черепаха будут соревноваться в беге, Ахилл никогда не сможет Догнать свою соперницу. Предположим, черепаха начала движение вперед; пока Ахилл подбегает к месту старта черепахи, последняя продвинется еще немного вперед. Пока Ахилл подбегает к этой новой позиции, черепаха снова продвинется чуть дальше. Каждый раз, как Ахилл приближается к предыдущей позиции черепахи, это жалкое создание отодвигается вперед. Ахилл, конечно, подбегает ближе и ближе к черепахе, но он никогда не догонит ее.
а) Пока Ахилл бежит дистанцию, черепаха уходит вперед на какое-то расстояние, и так далее, до бесконечности.
Нам следует помнить, что это рассуждение направлено против пифагорейцев. Следовательно, их предположение принято, а линия считается состоящей из единиц или точек. Таким образом, это заключение - способ сказать, что, как бы медленно черепаха ни двигалась, она должна будет пройти бесконечное расстояние, прежде чем это соревнование закончится. Здесь другая форма доказательства того, что вещи бесконечны по размеру.
Хотя было бы не трудно показать, что неправильно в этом заключении, нам должно быть совершенно ясно, что в качестве противника пифагорейского учения о единице это рассуждение непогрешимо. Только отвергнув эту точку зрения на единицу, мы можем развивать теорию о бесконечных рядах, которая показывает, в чем заключается ошибка. Если, например, ряд состоит из членов, уменьшающихся в постоянной пропорции, как длина последовательных шагов в соревновании, тогда мы можем вычислить, где Ахилл догонит черепаху. Сумму таких рядов определяют как такое число, что сумма любого числа отрезков никогда не превысит его, но сумма достаточно большого числа отрезков будет приближаться к нему так близко, как мы захотим. То, что существует одно и только одно такое число для данного ряда, следует утверждать здесь без доказательств. Такие ряды называют геометрическими. Любой, знакомый с основами математики, может справиться с этим в наши дни. Но давайте не забывать, что именно критическая работа Зенона сделала возможным развитие соответствующей теории продолжающегося количества, на которой основаны эти суммы, кажущиеся сегодня детскими игрушками.
Другой парадокс, называемый иногда "беговая дорожка", выявляет другую сторону диалектического рассуждения. Оно заключается в том, что нельзя пройти всю беговую дорожку, т. к. это означало бы, что мы должны пройти бесконечное число точек за определенное время. Говоря более точно, прежде чем достичь какой-либо точки, нужно достичь отметку половины пути, и так далее до бесконечности. Отсюда следует, что движение не может начаться совсем. Это, вместе с Ахиллом и черепахой, которые показывают, что, начав двигаться, нельзя остановиться, устраняет гипотезу о линии, состоящей из бесконечного множества единиц.
б) Если расстояние и время состоят из единиц, средний ряд движется с двумя различными скоростями одновременно.
Еще два парадокса предложены Зеноном, чтобы показать, что мы не можем исправить положение, предполагая, будто в линии определенное число единиц. Для начала возьмем три равных параллельных отрезка линий, составленных из одного и того же определенного числа единиц. Пусть один из них находится в покое, а два других движутся в противоположных направлениях с равными скоростями таким образом, что все они окажутся бок о бок с другими, когда движущиеся отрезки будут проходить мимо находящегося в покое. Относительная скорость двух движущихся отрезков в два раза больше, чем относительная скорость каждого из них и находящегося в покое. Рассуждение здесь построено на следующем предположении: существуют единицы времени, так же как и пространства. Тогда скорость измеряется числом точек, проходящих мимо данной точки за определенное число моментов. Пока одна из движущихся линий проходит половину длины остающейся в покое линии, она проходит всю длину другой движущейся линии. Следовательно, последнее время в два раза больше предыдущего. Но, чтобы занять позицию одна бок о бок с другой, каждой из двух линий потребуется одинаковое время. Поэтому может показаться, что линии движутся в два раза быстрее, чем на самом деле. Рассуждение несколько усложнено из-за того, что мы не так мыслим о моментах времени, как о расстояниях, но это относится к критике теории единиц.
Наконец, есть парадокс стрелы. В любой момент стрела в полете занимает пространство, равное самой себе, и, следовательно, стоит на месте. Отсюда следует, что она всегда стоит на месте. Это показывает, что движение не может даже начаться, тогда как предыдущий парадокс показывал, что движение представляется более быстрым, чем оно есть на самом деле. Опровергнув таким образом пифагорейские теории об абстрактном количестве, Зенон заложил основы теории непрерывности. Именно это требуется, чтобы защитить теорию Парменида о сплошной (непрерывной) сфере.