Эта теория должна быть тесно связана с теорией правильных геометрических тел, что оказалось возможным благодаря пифагорейскому мистицизму. Действительно, по этой схеме не остается места для додекаэдра. Он один из пяти тел имеет стороны, составленные не из двух простых треугольников, а из правильных пятиугольников. Мы можем напомнить, что пятиугольник был одним из мистических символов пифагорейцев и его конструкция включает иррациональное число, что было показано, когда мы обсуждали идеи поздних пифагорейцев. Далее, додекаэдр выглядит наиболее круглым по сравнению с любым другим из четырех тел. У Платона, следовательно, он символизирует мир. Это рассуждение не влияет на надежность или что-либо другое математической модели.
У нас нет времени рассматривать здесь математическую теорию Платона полностью. В любом случае ее нужно собирать по кусочкам и некоторым намекам в диалогах и высказываниях Аристотеля. Тем не менее важно отметить, что Платон, или, во всяком случае, Академия, пересмотрели пифагорейское учение о числах, чтобы избежать аргументов элейской критики. Здесь опять просматривается взгляд, сходный с современным. Началом ряда чисел признан ноль вместо единицы. Это делает возможным развитие общей теории иррациональных чисел, которые, если быть более педантичным, не следовало бы называть иррациональными. Подобно тому, в геометрии линии представляются теперь созданными движением точки, - взгляд, который играет центральную роль в теории Ньютона о дифференциации, которая была одной из ранних форм того, что стало позже называться дифференциальным исчислением. Мы ясно видим путь, по которому развивалась унификация арифметики и геометрии в духе диалектики.
Вторым важным моментом является сообщение Аристотеля о Платоне, придерживавшемся взгляда, что числа не могут быть прибавлены. Это отчасти лапидарное заявление фактически содержит зародыш современного взгляда на число. Вслед за пифагорейцами Платон рассматривал числа как формы. Они, очевидно, не могут быть суммированы. Что происходит, когда мы делаем прибавления? Мы кладем вместе вещи определенного вида, скажем камешки. Разновидность вещей, о которых говорят в математике, отличается, однако, от камешков так же, как и от форм. Это в какой-то степени посредник между ними двумя. То, что математики складывают, - это вещи любого вида, не имеющие особых признаков, при условии, что в интересующем нас отношении этот вид один и тот же для всех добавленных вещей. Все это вырисовывается очень ясно в терминах определения числа, данного Фреге, позднее - Уайтхедом и мной. Например, число три - это класс всех троек. Тройка - это класс объектов данного вида. То же касается любого другого основного числа. Число два это класс двоек, двойка является классом вещей. Вы можете прибавлять тройку и двойку одного вида, но не число три или два.
Так выглядит небольшой набросок некоторых из наиболее важных теорий Платона. Мало (если вообще таковые были) философов, когда-либо достигших его уровня и глубины, и ни один не превзошел его. Для любого, кто занимается философским исследованием, было бы немудро игнорировать Платона.
Аристотель, последний из трех великих мыслителей, которые жили и учили в Афинах, был, возможно, первым профессиональным философом. При нем наивысшая точка классического периода греческой культуры была пройдена. Политически Греция теряла свое значение; Александр Македонский, который молодым человеком был учеником Аристотеля, заложил основы империи и процветания эллинского мира. Но об этом позднее.
В отличие от Сократа и Платона, Аристотель был чужеземцем в Афинах. Он родился около 384 г. до нашей эры в Стагире во Фракии. Его отец был придворным врачом македонских царей. В возрасте восемнадцати лет Аристотель был послан в Афины заниматься у Платона в Академии. Он оставался членом Академии до смерти Платона в 348 или 347 г. до нашей эры, всего около двадцати лет. Новый глава Академии Спевсипп в основном был увлечен математической стороной философии Платона, стороной, которую Аристотель понимал меньше всего и не любил больше всего. Поэтому он покинул Афины и в течение следующих двадцати лет работал в других местах. Последовав приглашению своего бывшего школьного товарища Гермиаса, правителя в Мизии, на побережье Малой Азии, Аристотель присоединился там к группе академиков и женился на племяннице своего хозяина. Три года спустя он отправился в Митилену на острове Лесбос.
Работы Аристотеля по классификации животных относятся, как мы уже говорили, к академическому периоду его деятельности. Во время пребывания в Эгее он проводил исследования по биологии моря, области, в которую он внес вклад, непревзойденный до XIX в. В 343 г. до нашей эры его пригласили ко двору македонского царя Филиппа II, который искал наставника своему сыну Александру. В течение трех лет Аристотель выполнял эту обязанность, но об этом периоде у нас нет достоверных сведений. Возможно, что это наша большая неудача; нельзя не удивляться, какое влияние имел мудрый философ на неуправляемого царского сына, и все же, наверное, не будет ошибкой сказать, что не на многое они могли смотреть одними глазами. Политические взгляды Аристотеля соответствовали греческому городу-государству, который шел к упадку. Централизованные империи типа империи Великого царя должны были казаться ему, как и всем грекам, варварским изобретением. В этом, как и в вопросах культуры вообще, они имели здоровое уважение к своему интеллектуальному превосходству над варварами. Но времена менялись, города-государства приходили в упадок, а за эллинской империей было будущее. То, что Александр восхищался Афинами и их культурой, верно, но тогда так поступал любой, и Аристотель не был причиной этого.
С 340 г. до смерти Филиппа в 335 г. до нашей эры Аристотель жил снова в родном городе, а с этого времени до смерти Александра в 323 г. он работал в Афинах. Именно в это время он основал свою школу, Ликей, названную по имени соседнего храма Аполлона Ликейского, который прославился убийством волка. Здесь Аристотель читал лекции своим ученикам, расхаживая по залам и садам и беседуя. От этой его привычки учение в Ликее стало известно как перипатетическая, или странствующая философия. Интересно отметить, что английское слово "discourse" буквально означает бегание туда-сюда. Латинский предок этого слова не использовался в его современном значении обоснованного доказательства до средних веков. Оно могло приобрести этот смысл при использовании в связи с перипатетической философией, хотя все это в целом проблематично.
После смерти Александра афиняне подняли восстание против македонского правления. Аристотеля, естественно, подозревали в промакедонских симпатиях, и он был обвинен в неверии. Как показал случай с Сократом, такие упражнения в законе могут случайно привести к несколько неприятным последствиям. Аристотель не был Сократом и решил избежать лап патриотов, чтобы не увеличивать афинский счет еще одним преступлением против философии. Он оставил ведение дел в Ликее на Теофраста, а сам удалился в Халкиду, где и умер в 322 г. до нашей эры
Большая часть из того, что дошло до нас как произведения Аристотеля, относится ко второму афинскому периоду его деятельности. Не все из этих произведений принадлежало ему. Нет сомнения в том, что некоторые из этих вещей основаны на записях лекций. Таким образом, Аристотель оказался первым автором учебников. Некоторые из произведений даже кажутся записанными студентами. В результате этого стиль Аристотеля довольно скучный и невдохновляющий, хотя известно, что он также писал диалоги в манере Платона. Ни один из них не сохранился, но из оставшегося очевидно, что Аристотель не был стилистом сравнимым с Платоном. Там, где Платон писал драматические шедевры, у Аристотеля - сухие учебники. Там, где Платон извергал построенные без плана диалоги, у Аристотеля - систематические трактаты.