Рис. автора.
Струну Пифагор поделил на четыре части и установил зажим между тремя и четвёртой частью: длина струны – ¾. Частота колебаний – 4/3.
Вот теперь внимание! –
Если квинту умножить на кварту – получим… октаву!
По длинам струн (длинам волн): 
длина струны (волны) октавы
По частоте колебаний: 
частота колебаний струны (волны)октавы
А теперь взгляни на клавиатуру:
Рис. автора.
А вот так? –
Рис. автора.
Перекрёст!
К этому перекрёсту мы ещё вернёмся.
…Ты готов и дальше ломать голову над твоей суперголоволомкой? (Она же – у т е б я в комнате поселилась и живёт!)
Над этой головоломкой ломали голову (в смысле вращали свои мысли) гениальнейшие умы человечества в течение тысячелетий!.. А нам что мешает подключиться?
Подключаемся к волнам мыслей Пифагора…
А что если мы представим себе те волны звука, которые колеблются вместе со струной пифагорова монохорда?
Это – на следующих страничках.
Рис. автора
Рис. автора
Консонанс – это созвучие, слияние, совпадение звучащих тонов (помнишь?).
В случае с волнами – слияние, совпадение их доминант, кульминаций. Совпадение гребней волн.
Рис. автора
Вот интересно: впишется ли в эту стройную систему к в а р т а?
Пифагор кварту тоже относил к консонансам.
А почему бы и нет? Мы же видели несколько страничек назад, что кварты в октаве появились благодаря двум квинтам, двум совершенным консонансам: квинта снизу вверх (от примы к октаве) х квинта сверху вниз (от октавы к приме), в результате их перекрёста. Кроме того, сама октава появляется в результате умножения квинты на кварту: 2/3 х 3/4 = 1/2, 3/2 х 4/3 = 2 (длина волны и частота октавы).
Давай посмотрим:
Рис. автора.
Не вписывается…
Но ведь не может быть, чтобы не вписалась! Когда-то же это должно случиться!
Мы будем настойчивы, как Пифагор, – раз уж решили следовать волне его мысли:
Рис. автора
Наконец-то!
Через 72 маленьких «шажочка»-деления на шкале (12 х 6 = 72) свершился всеобщий консонанс!
Эту ленту из волн можно даже замкнуть в кольцо. Так всё замечательно совпадает.
Модель автора
И даже количество кульминаций (гребней волн) соответствует частотам интервалов. Посчитай:
Прима: 6/6 = 1 (частота примы). Вся струна. 1.
Октава: 12/6 = 2 (частота октавы). 1/2 струны.
Квинта: 9/6 = 3/2 (частота квинты). 2/3 струны.
Кварта: 8/6 = 4/3 (частота кварты) 3/4 струны.
Частоты и длины струн ( они же – длины волн) – в обратной пропорции.
Перевёртыш. Перекрёст. Как квинты обращаются в кварты, так и длины волн обращаются в частоты.
Пифагор, конечно, мог сопоставлять вовсе и не волны, а отрезки струн. Например, вот так:
Рисунки автора.
Хотя, о волнах…
В конце своей жизни Эйнштейн написал автобиографию совершенно особенную. Это была автобиография его м ы ш л е н и я. Из чего рождается научная мысль? – вот о чём была эта автобиография. Как этот процесс в течение жизни он ощущал в себе. «Всё, что мы знаем о реальности, исходит из опыта и завершается им» (Эйнштейн). Мысль начинается с образов реальности. Потом в образах проступает логика. Она становится инструментом сравнений, сопоставлений, которые ведут к закономерностям, а потом – к теории. И – проверка опытом.
«…Это были образы волнующегося моря, символизирующего, а отчасти описывающего недоступные непосредственному зрительному представлению электромагнитные колебания…» (Из книги Б.Г.Кузнецова «Эйнштейн. Жизнь, смерть, бессмертие»)
Волны моря, волны воздуха, волны звука…
Да все древнегреческие памятники архитектуры изрисованы волнами-меандрами!
Ах, как жаль, что Пифагор не оставил нам никаких записей своих мыслей!
И вся его жизнь – легенда, пересказанная учениками учеников-учеников-учеников…
И эта жизнь – всегда у моря, и путешествия – через моря.
Рис. из Википедии.
А закон обратной пропорциональности длин волн и частот по сей день управляет волновой физикой. «Струнно-волновая теория» Пифагора… Вот к чему может привести музыка!
Конечно, у волны есть и другие характеристики, помимо длины волны и частоты. Обычно ещё учитывается период колебаний и скорость волны.