Этот процесс можно увидеть страничкой ниже.
Рисунки и модели автора.
А что же остальные звуки?
Сохранились ли в них хотя бы намёки на их «первородство» – на квинту?
Давай посмотрим на одну таблицу. Она показывает следующий этап процесса сотворения музыкального строя Пифагором: вычисленные им остальные звуки октавы.
Для удобства понимания на ней указаны имена звуков, но за каждым из них – Число! (по-«пифагоровски»). /ниже – таблица из книги: Волошинов М.В. «Математика и искусство»/
Рис. и пометки автора.
Да, как-то хитро запрятались квинты внутрь других звуков. И не распознаешь их с первого взгляда.
Кстати, ты заметил, что все числа – это частоты: числитель дробей больше знаменателя, «большее на меньшее», большее число в отношении к меньшему. У длин волн – наоборот: меньшее число в отношении к большему. Надеюсь, ты помнишь про этот перевёртыш/перекрёст.
Да и сам первый звук (прима) уже словно намекает на то, что предстоит увлекательная игра в перевёртыши: если частоту звука умножить на длину его волны, то и получится е д и н и ц а, начало отсчёта.
А если частоту квинты умножить на частоту её перевёртыша – частоту кварты, – получится октава (по частоте). Или перемножить длины волн квинты и её перевёртыша кварты, – будет октава по длине волны. Этакий расширенный, удвоенный перевёртыш.
Да и сама октава – удвоенная единица-прима: 2. Или поделённая пополам: ½.
( Опять – геометрическая прогрессия?!)
Прима – нижняя граница звукоряда. Октава – верхняя граница.
В середине – квинта и её перевёртыш кварта.
Рис. автора.
Да, по-видимому, Пифагор понял, что отношения между этими звуками и интервалы, которые образуются из их отношений, и должны стать ключом к поиску характеристик других звуков – их частот и длин волн.
Давай-ка ещё разочек обратимся к ленте частот.
О, этот долгий путь ко всеобщему консонансу и гармонии!
Рис. автора.
Путь получился долгим из-за того, что квинте пришлось вращаться-обращаться в кварту, и это вращение-обращение должно было прийти к консонансу в конце концов.
Отношения частот прямой квинты и её обращения кварты произвело на свет новое отношение и новый звук: 9/8.
9/8. Девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты.
В таблице – это звук РЕ. II ступень.
Рис. автора.
То же самое отношение получится, если перевернуть кварту и умножить этот перевёртыш на квинту. (Перевёртыш перевёртыша – просто голова крýгом!)
Рис. автора.
Если результат этой операции умножить на результат такой же операции (результат в квадрате), то есть 9/8 х 9/8, получим следующий звук.
9/8 х 9/8 = 81/64
Получилась частота МИ. III ступень.
Рис. автора.
Следующая ступень, IV, нам известна: кварта, 4/3.
Умножим 81/64 (ми) на 4/3 (фа): 81/64 х 4/3 = 27/16.
Это частота ЛЯ, VI ступень.
Её же можно получить, «воспользовавшись услугами» известной нам Vступени, квинты: умножить квинту 3/2 на тон 9/8. 3/2 х 9/8 = 27/16.
Рис. автора.
VII-ю ступень, СИ, мы получим, умножив частоту ЛЯ опять же на тон 9/8:
27/16 х 9/8 = 243/128
Рис. автора.
Между прочим, если мы и кварту 4/3 умножим на тон 9/8, то получим квинту: 4/3 х 9/8 = 3/2
…И все эти числа – реально звучат!
… А ты заметил, что ТОН/звук у нас теперь фигурирует и в качестве
р а с с т о я н и я между звуками?
Удивительно: ТОН – и сам звук, и в то же время – расстояние между звуками в октаве!
Может, это – из-за в о л н ы?
Ведь звуковая волна «пробегает» р а с с т о я н и е.
Вспомни ленту частот. Волне примы пришлось «пробежать» шесть своих расстояний, пока не свершился Великий Консонанс: созвучие примы, октавы, квинты и кварты.
А ведь прима – ТОН, с которого всё начинается, чтобы прийти к октаве. А шесть «пробежек» приме пришлось совершить из-за отношений квинты и кварты (перевёртыша квинты).
Вот так всё и сошлось: в октаве должно быть шесть тонов, а каждый тон выражает отношение между квинтой и квартой: девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты – 9/8.