Как-то уж очень похоже на то, что Пифагор пытался сопрячь, соединить звуковое круженье и угловое, чтобы у в и д е т ь (!) звуковую модель в своём умозрении.
Давай попробуем расписать этот текст как задачку.
«Доля» у нас неизвестное – икс х. Х может быть и звуковым интервалом, как прежде, и угловой мерой – если, как Пифагор, мы захотим у в и д е т ь звук как геометрию. Эти угловые меры мы можем обозначить привычными нам градусами вместо греческих «долей».
Рис. автора.
С седьмой доли начинается п о д о б и е. Подобие совокупности всех предыдущих.
В интервалах она даёт выход на лимму и подобие октавы в микроинтервалах, если помнишь.
А дальше – знакомые картинки.
Рис. автора.
Рис. автора.
Рис. автора
Октава и её подобие, образующие «золотой» угол – 36º: как 36 звуков в пифагоровой октаве.
Постичь круженье, тем более измерить его – задачка, конечно, не из лёгких.
Перевести круг в треугольник – была замечательная идея египтян.
Сопряжение угловых поворотов и прямых линий впоследствии произвели на свет тригонометрические функции. Роль треугольника в измерении круженья оказалась неоценимой. Смысл понятия «тригонометрические функции»: «функция» – «роль», «дело»; «тригонон» (греч.) – «треугольник»; «метрео» (греч.) – «измеряю». Но нужно отметить, что с целочисленными результатами измерений здесь всегда проблема: ты знаешь, что значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов – не целочисленны.
Да, всё то, что не прямолинейно, не хочет поддаваться простому, а зачастую и точному измерению. В состав формул для измерения круженья вообще входят б е с к о н е ч н ы е числа. Их называют т р а н с ц е н д е н т н ы м и: «транс» – «перенос». Эти числа переносятся через все пределы-границы, не знают конца.
Таких чисел три:
Знакомое тебе π, знакомое φ, и ещё е – число Эйлера, которое входит в состав натуральных логарифмов.
Все эти числа связаны с круженьем.
Тысячелетней давности задачка о квадратуре круга тоже оказалась связанной с бесконечностью и в результате – неразрешимой.
Но зато она в конце концов привела к очень даже современной идее
ф р а к т а л ь н о й г е о м е т р и и. А идея всё та же: ломать прямую на подобные кусочки-отрезки бесконечно и измерять их, измерять, измерять… Эти вычисления стали возможны только в век компьютеров.
Во все времена человеку хочется постичь и смоделировать мир, в котором он рождён.
У Пифагора не было компьютера. Но ему тоже хотелось моделировать.
Вот что он подметил проницательно, так это то, что звук своей природой, своей физикой воспроизводит законы формирования космического пространства-времени. И создал не компьютерную, а звуковую модель этого пространства-времени!
Он создал модуль мира-космоса – октаву.
А звуки сами воссоздают круженье: они ведь – волны!
И модулируют – по подобию.
Интересно, что египтяне (древний Египет), пытаясь решить проблему квадратуры круга, тоже не избежали увлечения идеей музыкальности. В формулу площади круга они включали очень даже музыкальную дробь.
Сравни: Площадь круга диаметра d считалась равной площади квадрата со стороной 8/9d.
Рис. автора.
Обратный ход – к прямоугольности. Прямоугольные волны в современной радиотехнике: волны-меандры.
Меа́ндр (по названию геометрического орнамента в виде ломаной линии) – периодический сигнал прямоугольной формы, широко используемый в радиотехнике и электронике. Длительность импульса и длительность паузы между импульсами в одном периоде такого сигнала равны.
Рис. автора.
(Если пожелаешь посмотреть анимацию о том, как образуются такие волны, набери в поисковике «меандр значение слова», выбери «меандр – вид импульсного сигнала».)
Смешение времён!
А Пифагор бессмертен.
Октава всё ещё жива.
Музыка всё ещё моделирует пространство-время.
Но что же было с музыкой после Пифагора?
ЧТО БЫЛО ДАЛЬШЕ?