Начинаем катить круг А по линии окружности другого круга:
Рис. автора.
Круг А выглядит так же, как в начале своего пути. Он совершил поворот на 360˚, но в начальное положение не вернулся. Ты можешь проверить это практически, вырезав круги из картона. Ты можешь о с я з а т ь этот геометрический процесс.
Катим круг А дальше:
Рис. автора.
Круг А повернулся ещё на 360˚ и вернулся в начальное положение.
Итого он совершил поворот на 720˚.В этом явлении удивительно вот что:
Обе начальные окружности (чёрная и круга А) совершенно одинаковы, с одинаковым количеством точек, из которых состоят. При движении круга А все точки его окружности должны были совпасть с точками чёрной окружности «точка в точку», – допустим, на каждый градус поворота – по точке. Но градусов поворота оказалось в два раза больше, – как будто у окружности круга А и точек в два раза больше.
Подобному явлению удивлялся и немецкий математик Георг Кантор, только по поводу графиков функции. Он удивлялся тому, что количество точек отрезка равно количеству точек квадрата. Только в случае с функцией две точки координат сливаются в одну точку функции. Этот пример – из книги В.Босса «Интуиция и математика». Кантор говорил, что его рассудок отказывается это принимать, но очевидность – убедительна.
Вообще, вся эта геометрическая картинка заставила вспомнить знаменитые эпициклы Птолемея. В его космической системе планеты двигались подобным образом. Знал ли Птолемей об истинной вращательной симметрии пространства? Тогда квантовой механики ещё не было… Система Птолемея, в конце концов, была отвергнута последующими поколениями астрономов, но до сих пор даже современных учёных удивляет точность, с которой эта система предсказывала явление планет, их движение на земном небосклоне.
А теперь просто посмотри на продолжение этой геометрической игры:
Если соединить точки вращения круга А…
Рис. и пометки автора.
Лист? Сердце?
А если почаще наносить точки вращения… (Ты можешь проэкспериментировать сам, с помощью кругов.)
Рис. автора.
Сердце? Яблоко?
Согласись, что музыкальная геометрия – геометрия нотного стана – выглядит намного компактнее. И весьма лаконично она даёт нам знать («нота» – «знать») об истинной вращательной симметрии пространства. К тому же – эта геометрия звучит!
Тайна 3.
На самом деле в этой тайне для нас нет ничего тайного. Нужно только суметь
у в и д е т ь некоторые отношения, пропорции в геометрии ключа – и всё!
Рисунки автора.
Дальше – чуть поинтереснее. Присмотрись.
Рис. автора.
Конечная точка большого завитка может указывать и на квинту, и на кварту.
А никакого страшного противоречия нет. Мы-то хорошо знаем, что кварта – это всего лишь перевёртыш квинты: как будто её отражение в зеркале, где правое и левое меняются местами.
В конце концов, нота СОЛЬ может быть не только квинтой До-мажора, но и до-минора; может быть квартой Ре-мажора и ре-минора.
Это всего лишь говорит о великих потенциальных возможностях ключа. По опыту ты знаешь, что в с е тональности пользуются его услугами!
Так что… как посмотреть. А «как посмотреть» – это значит выбрать систему отсчёта и как и что в ней соотносить. И это – принцип относительности.
Вот! В музыке тоже действует принцип относительности.
Тайна 4.
Геометрия в пространстве.
Возьмём Геометрию за ручку и выведем прогуляться в пространство.
Мы будем с нею играть. А как же!
Пусть линия станет полоской бумаги ≈ 5мм шириной и 300мм длиной.
Раз-два-три – начало игры! Смотри и повторяй:
Рис. автора.
Совет: начинай снизу вверх, по логике звука и нотного стана. В любой игре обязательно есть логика.
Получилось?
…Результаты экспериментов принято изучать, анализировать.
И мы попробуем.
Первая петля:
Рис. автора.
Если мы её склеим в обозначенной точке, у нас получится Петля Мёбиуса ( она же – Лента Мёбиуса). Она будет обладать свойствами Ленты Мёбиуса, даже если мы склеим концы нашей ленты под прямым углом.
Напомню свойства этой Ленты:
Непрерывность.
Парадокс: две поверхности ленты на самом деле являются одной поверхностью для скользящего по ленте пальца. Наш палец скользит всё время в одном направлении непрерывно, не перескакивая с одной поверхности на другую, но при этом бывает на обеих поверхностях.