Теперь на обоих концах короткой трубки я выдую по обыкновенному пузырю, притом нижнему пузырю придам при помощи другой трубки цилиндрическую форму, и буду вдуванием или выпусканием воздуха регулировать количество воздуха в нем, пока его стенки не станут совершенно прямыми. Вот теперь это удалось мне (рис. 23), и давление в обоих пузырях должно быть точно одинаковым, так как воздух может свободно переходить из одного в другой.
Рис. 23.
Мы видим, что поперечник шара ровно в два раза больше поперечника цилиндра. Но этот шар обладает лишь половиной кривизны, которой обладал бы шар с половинным диаметром. Отсюда мы видим, что кривизна цилиндра, равная, как мы знаем, кривизне большого шара (так как они. взаимно уравновешивают друг друга), составляет только половину кривизны шара равного диаметра, а потому давление внутри цилиндра равно только половине давления внутри шара с диаметром, равным диаметру цилиндра.
Теперь мне необходимо сделать еще шаг для разъяснения этого вопроса о кривизне. В тот момент, когда цилиндр и шар уравновешивают друг друга, я стану вдувать воздух так, чтобы шар увеличился. Что произойдет с цилиндром? Цилиндр наш, как видите, очень короткий; раздуется он тоже или случится что-нибудь другое? Вот я вдуваю воздух, и вы видите, что шар увеличился, причем давление внутри него уменьшилось; у цилиндра же появился перехват, это уже не цилиндр: его стенки вогнулись внутрь. По мере того как я вдуваю воздух и увеличиваю шар, они вгибаются все больше внутрь, но не беспредельно. Если бы я мог раздуть верхний пузырь до огромных размеров, давление внутри него стало бы ничтожно малым. Попробуем теперь совершенно и сразу уничтожить давление, просто заставив верхний пузырь лопнуть и давая таким образом свободный выход воздуху изнутри наружу. Повторим этот опыт в крупных размерах. Я беру два больших стеклянных кольца, между которыми образуется подобная же пленка, имеющая совершенно такую же форму с вогнутыми внутрь стенками (рис. 24).
Рис. 24.
Но так как внутри нет вовсе давления, то тут не должно быть и никакой кривизны, если то, что я сказал выше, правильно. Присмотримся, однако, к мыльной пленке. Кто же решится утверждать, что она не имеет кривизны? А между тем мы твердо установили, что давление и кривизна неизменно связаны друг с другом. По-видимому, мы пришли теперь к нелепому заключению. Так как давление сведено к нулю, то, как мы знаем, у поверхности не должно быть кривизны, а между тем достаточно беглого взгляда, чтобы заметить, что наша поверхность обладает кривизной, придающей ей вид элегантной фигуры с талией. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим гипсовую модель геометрического тела, обладающего таким же перехватом.
Присмотримся к этому телу внимательнее. Я беру картонный кружок точно такого же диаметра, как и перехват нашей модели. Затем я прикладываю его ребром к перехвату (рис. 25), и вы видите, что, хотя кружок и не заполняет всей кривизны, он плотно соприкасается с частью, прилегающей к перехвату.
Рис. 25.
Далее мы обратим внимание на то, что эта часть модели при рассматривании сбоку кажется вогнутой внутрь, но она же показалась бы нам выгнутой наружу, если бы мы могли посмотреть на эту часть модели сверху. Итак, если рассматривать отдельно перехват, мы видим, что он одновременно и в одинаковой степени вогнут внутрь и выгнут наружу, в зависимости от точки зрения, с какой мы его рассматриваем. Кривизна, направленная внутрь, должна уменьшать давление внутри, кривизна же, направленная наружу, должна увеличивать его, а так как они равны, то как раз уравновешивают одна другую, и тут совсем не будет никакого давления. Если бы мы могли таким же путем исследовать пузырь с перехватом, мы убедились бы, что это справедливо не только по отношению к перехвату, но и по отношению к каждой части пузыря. Когда мы имеем дело с какой-нибудь изогнутой поверхностью, то для определения ее кривизны в какой-либо точке надо измерить кривизны вдоль двух взаимно перпендикулярных линий. Всякая кривая поверхность, подобная нашей, у которой в каждой точке эти две кривизны противоположно направлены и равны, называется поверхностью без кривизны. Таким образом, то, что казалось нелепостью, теперь разъяснилось. Наша поверхность, единственная, за исключением плоскости, поверхность без кривизны, симметричная по отношению к оси, называется катеноидом, потому что линии ее похожи, как вы непосредственно видите, на цепь, укрепленную в двух точках, a «catena» по-латыни и значит «цепь». Я привешиваю цепь к двум крючкам на горизонтальной палке и освещаю ее сильным светом так, что ее вам теперь хорошо видно (рис. 26).
Рис. 26.
Это та же самая форма, что и у боковой поверхности мыльного пузыря, образованного между двумя кольцами и открытого на концах доступу воздуха.
Может случиться, что кривизны, измеренные вдоль двух взаимно перпендикулярных линий, не равны и противоположны, как у только что рассмотренного катеноида; тогда, если поверхность имеет натяжение, подобное поверхностному натяжению воды, давление окажется бóльшим на более вогнутой стороне, причем оно прямо пропорционально разности между двумя кривизнами. Эти соображения дают нам ключ к решению проблемы о точной форме капли воды (рис. 2) или спирта. Давление внутри определенного количества жидкости возрастает постепенно сверху вниз, подобно тому как в море давление возрастает по мере опускания вглубь. Форма капли такова, что на каком-нибудь уровне полная кривизна, определенная, как было указано выше, т. е. сумма или разность кривизн, измеренных в двух взаимно перпендикулярных направлениях (сумма, если их центры лежат по одну сторону поверхности, или разность, если по обеим сторонам), пропорциональна расстоянию от уровня воды или спирта. Вода — более тяжелая жидкость, а потому капли ее должны были бы быть сами по себе меньше, но, с другой стороны, ее поверхностное натяжение превосходит поверхностное натяжение спирта, так что в результате капли воды оказываются крупнее капель спирта.
Мы нашли, что давление внутри короткого цилиндра уменьшается, если у него начинает образовываться перехват, и, наоборот, увеличивается, когда стенки цилиндра выпячиваются. Попробуем теперь уравновесить два пузыря: один с перехватом, а другой с раздутыми стенками. Как только я открываю кран и даю возможность воздуху переходить из одного пузыря в другой, раздутый пузырь перегоняет воздух в пузырь с перехватом и оба они становятся прямыми. На рис. 27 направление движения воздуха, а также стенок пузырей, обозначено стрелками.
Рис. 27.
Произведем теперь тот же самый опыт с двумя гораздо более длинными цилиндрами, у которых длина, примерно, в два или три раза больше диаметра. Вот они и готовы: один с раздутыми стенками, а другой с перехватом посредине. Я открываю кран и даю воздуху возможность переходить из одного в другой. Что же оказывается? Пузырь с перехватом сжимается и раздувает другой еще сильнее (рис. 28), пока, наконец, сам не разделится пополам.
Рис. 28.
Таким образом, он ведет себя прямо противоположно тому, как действовал короткий цилиндр. Если вы станете испытывать несколько цилиндров различной длины, вы убедитесь, что перемена эта происходит как раз у тех цилиндров, у которых длина ровно в полтора раза больше диаметра. Если теперь вы вообразите, что один из этих цилиндров соединяется концом с другим, вы увидите, что цилиндр, у которого длина в три раза превосходит диаметр, может существовать лишь мгновенье; причина в том, что, как только один конец чуть-чуть сожмется, давление здесь возрастает и узкий конец начинает вдувать воздух в широкий конец (рис. 29), пока стенки узкого конца не соприкоснутся.