СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНА ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В СТЕПЕНИ n+1.
Ферма вывел более общую теорему НЕОБИНОМА:
“СУММА ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНA ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ n+m, при n³2 и m>0.”
По аналогии с доказательством теоремы Крылова, он допустил, что вместо его НЕРАВЕСТВА (2) будет РАВЕНСТВО:
Xn+m + Yn+m = Zn+m = Zn. Zm; n³2 и m>0; (15)
Zm = A + B (16)
При уcловии, что A>0 и В>0, Zm>0 (17)
Слагаемые целые числа (16) могут равняться целым числам в степени n
A =an; B = bn; (18)
Zn+m = (a Z)n + (b Z)n (19)
Но, если X=aZ, Y=bZ, то (20)
Xn+m + Yn+m = Zn+m (15)
что и требовалось доказать.
Если теперь рассмотреть неравенство (1), как частный случай (1), когда m=0 и
Xn+0+ Yn+0 = Zn+0 (21)
Из (16) и (18) следует
an = 1 — bn; a = n√(1– bn) (22)
Поскольку bn > 1, то а оказывается МНИМОЙ ВЕЛИЧИНОЙ и РАВЕНСТВО (21) НЕПРАВОМЕРНО, является НЕРАВЕНСТВОМ (1), что и доказывает эту теорему.
Так, найдя “Необином”, Ферма привел доказательство своей теоремы, которое могло бы уместиться на полях ”Арифметики Диофанта”!