В 1915 году русский математик Михаил Осипов написал серию статей, широко известных как Оценка числа жертв войны, где он предложил модель истощения, основанную на двух дифференциальных уравнениях, которые измеряли пропорциональность боевых потерь численности противоборствующих сил. Годом позже, в 1916 году, английский инженер Фредерик Ланчестер разработал ту же модель, что и Осипов, хотя в конечном итоге законы, описанные обоими, стали известны как Законы Ланчестера.7 Эта модель истощения в её простейшей форме выглядит следующим образом:
где A и B — численность соответствующих противостоящих сил, в то время как d — изменение численности, а t — время. Итак, давайте проведем мысленный эксперимент: смоделируем простое сражение, или перестрелку. Представьте, что у нас есть две противоборствующие силы, A и B. Обе силы полностью совпадают по своему оружию и навыкам, за исключением численности. Давайте предположим, что в составе A 1000 стрелков, а в составе B - 750. Эти силы начинают стрелять друг в друга, и интуитивный и неосведомлённый вывод будет заключаться в том, что к тому времени, когда A и B прекратят стрелять друг в друга, у силы A останется 1000–750 = 250 стрелков после полного уничтожения силы B. В конце концов, сила A просто многочисленнее силы B на 250 стрелков. Но: это неправильный вывод, и это не то, как он, скорее всего, будет развиваться в простейших условиях. Вот тут–то и вступают в игру законы Ланчестера–Осипова.
Хотя арифметическая интуиция может подсказать нам, что у группы А должно остаться 250 стрелков после перестрелки с группой В, не нужно быть математическим умом, чтобы понять, что эта решающая разница в 250 стрелков в пользу группы А позволит ей сконцентрировать свой огонь на группе В, полностью вовлечённой в перестрелку с 750 стрелками из 1000 человек группы А, тем самым все больше снижая производительность группы А, коэффициент, который будет увеличиваться нелинейно. Чтобы описать, что на самом деле происходит за период времени, в течение которого соответствующие силы будут стрелять друг в друга, мы должны преобразовать нашу систему уравнений. Но давайте упростим эти уравнения ещё больше, переписав, что такое dA и dB на самом деле. В нашей конкретной задаче они представляют собой не что иное, как разницу или изменение численности соответствующих сил до (начала) и после (окончания) сражения.
Другими словами, dA/dt и dB/dt также являются показателями потерь или истощения соответствующих сил. Таким образом, объединив наши уравнения, мы можем переписать нашу систему следующим образом:
Мы хотим знать, когда обе силы достигнут нуля по своей силе, что может быть выражено как: — Bdt = 0 и −Adt = 0, таким образом:
— Bdt = −Adt
Это то уравнение, которое нам нужно, потому что оно позволяет нам интегрировать его для времени битвы, времени начала и времени окончания. Те, кто более знаком с простым математическим анализом, могут теперь вспомнить, что взять простейший интеграл — это найти первообразную, а затем вычислить разницу её значений на верхнем и нижнем границах интегрирования. В наших случаях это времена начала и окончания. После интегрирования обеих частей уравнения 4 мы приходим к уравнению, которое выглядит следующим образом:
Рассмотрим эту простую задачу: мы знаем, что боевая эффективность пулеметчика равна боевой эффективности 36 стрелков. Сколько пулеметчиков нам понадобится, чтобы полностью заменить 1000 стрелков? Нет, это не 1000, разделенное на 36 или почти 28, это 1000, разделенное на квадратный корень из 36, который равен 6. 1000/6 даёт нам около 167 пулеметчиков. Это означает, что боевая мощь боевых сил рассчитывается путем умножения боевой эффективности отдельного подразделения (стрелка, отделения, взвода и т. д.) На квадрат численного состава. На языке непрофессионалов это означает одну очень важную вещь: чем больше у вас численного превосходства (не говоря уже о том, что у вас численный превосходство над численностью вашего противника), тем более непропорциональным будет распределение потерь в вашу пользу. Действительно, пересчитайте ту же задачу, но теперь 2000 против 750. Вы потеряете примерно 146 ваших стрелков, то есть 1854 ваших солдат переживут битву. Некоторые дополнительные сведения о квадратичной природе модели Ланчестера вы можете найти в концевых сносках к этой главе.8