Катушка, по которой течет электрический ток, ведет себя как магнитный диполь, то есть аналогично стрелке компаса. На рисунке изображена прямоугольная катушка (впрочем, ее форма не имеет значения). Введем вектор →A, перпендикулярный плоскости катушки, длина которого будет равна площади катушки. Если через катушку течет ток силой l, дипольный момент катушки определяется как вектор →μ=l→A. Энергия взаимодействия с магнитным полем B равна скалярному произведению – →μ• →B, то есть μBcosα, где α – угол между векторами →μ и →B. Теперь рассмотрим электрон, который движется по круговой орбите радиуса r со скоростью T=2πr/v. Момент импульса электрона на орбите будет задаваться вектором →l = m→v•→r, перпендикулярным плоскости орбиты. Движение заряженного электрона по орбите будет эквивалентно электрическому току l=-е/Т в круговой катушке радиуса r. Магнитный момент будет обозначаться вектором, перпендикулярным плоскости катушки. Чтобы вычислить модуль этого вектора, нужно умножить силу тока l на площадь катушки πr² . Результат будет пропорционален моменту импульса электрона и может быть записан так:
В декабре Гейзенбергу удалось получить схему, описывавшую результаты экспериментов. Однако радость Зоммерфельда померкла сразу же, едва тот увидел, что Гейзенберг применил внутренние квантовые числа с полуцелыми значениями (иными словами, нечетные числа, разделенные на 2, то есть 1/2, 3/2, 5/2 и т.д.). Профессор сказал: единственное, что достоверно известно в квантовой теории, – это то, что квантовые числа могут принимать только целые значения. Однако он оценил, насколько точно модель Гейзенберга описывала результаты экспериментов, и начал длительное обсуждение допустимости полуцелых квантовых чисел. Саркастичный Паули заметил, что после полуцелых чисел настанет черед четвертей, затем восьмых частей и так далее. Спустя несколько месяцев Зоммерфельд получил письмо от своего старого помощника Альфреда Ланде, который сообщал, что аномальный эффект Зеемана можно объяснить с помощью полуцелых квантовых чисел. Зоммерфельд ответил, что, по его мнению, результаты Ланде требуют доработки, и добавил: «Ваше новое представление прекрасно согласуется с тем, что обнаружил, но не опубликовал один из моих студентов (первокурсник)». И Гейзенберг, и Ланде умели играть с числами. Они не знали, какой физический смысл могут иметь полуцелые квантовые числа, однако предложенная ими концепция позволяла обнаружить некий порядок в наблюдаемых линиях спектра. Позже было установлено, что полуцелые квантовые числа связаны с одним из свойств электрона – спином.
Модель Гейзенберга сегодня вызывает лишь исторический интерес, но мы вкратце опишем ее, чтобы вы могли оценить интуицию ученого. Валентными называются электроны атома, которые меньше привязаны к нему. К примеру, атомы щелочных металлов имеют всего один валентный электрон, атомы щелочноземельных металлов – два валентных электрона и так далее. Эти электроны вращаются вокруг остального атома (атомного ядра и прочих электронов), который Гейзенберг называл каркасом атома. Электрон, движущийся по орбите, обладает моментом импульса, значения которого, согласно модели Бора, кратны постоянной Планка. Гейзенберг рассмотрел энергию взаимодействия между магнитным полем валентного электрона, магнитным моментом каркаса атома и внешним магнитным полем. Он увидел, что энергии стационарных состояний можно вычислить в случае, если момент импульса делится между валентным электроном и каркасом атома, вследствие чего возникает полуцелое квантовое число. Эта гипотеза позволяла объяснить аномальный эффект Зеемана. Чем вызвано подобное явление, Гейзенберг никак не объяснял.
На рисунке показано воздействие магнитного поля на линии спектра. В качестве примера нормального эффекта Зеемана можно привести атомный спектр кадмия. К исходной линии добавляются еще две, расположенные симметрично относительно нее. А в атомном спектре натрия к одной линии могут добавиться четыре или шесть линий, расположенных симметрично исходным. В этом и состоит аномальный эффект Зеемана, который нельзя было объяснить, не введя понятие спина электрона.
Зоммерфельд одобрил модель своего студента, так как в течение нескольких лет только с ее помощью можно было точно описать результаты экспериментов. В конце 1921 года Гейзенберг написал статью, посвященную полученным результатам, и отправил ее в научный журнал. Профессор рассказал об этом в письме Эйнштейну: «Мой ученик (Гейзенберг, с третьего семестра!) объяснил эти законы и аномальный эффект Зеемана с помощью модели и опубликовал их в журнале Zeitschrift fiir Physik [«Физический журнал»]. Предложенное им объяснение корректно, однако его глубинный смысл по- прежнему неясен». Это означало, что тайна пока оставалась нераскрытой.
В июне 1922 года Макс Борн (1882-1970) организовал в Гёттингене встречу немецких физиков с Нильсом Бором. Это мероприятие имело большое научное и политическое значение, ведь в течение нескольких послевоенных лет ученые побежденной страны подвергались бойкоту со стороны «победителей». Немецкие ученые имели возможность посещать только те конгрессы, которые проводились в странах, сохранявших во время войны нейтралитет. Визит Бора имел целью покончить с бойкотом. Немецкие деятели науки наконец-то смогли обсудить вопросы атомной физики и квантовой теории с наиболее авторитетным ученым тех лет. Зоммерфельд вместе с Гейзенбергом и другими студентами также отправился в Гёттинген.
В течение двух недель Бор описал состояние атомной физики на текущий момент, подробно остановился на актуальных задачах и представил их возможные решения. По его мнению, требовалось определить квантовые правила и последовательно применить их для решения задач. Бор упомянул модель каркаса атома, предложенную Гейзенбергом, без особого энтузиазма – эта гипотеза была важной, но не имела обоснования. В одной из бесед Бор представил работу своего коллеги Крамерса об эффекте Штарка, который заключался в отделении линий спектра в присутствии внешнего электрического поля. К этому времени Гейзенберг уже был знаком с работой Крамерса, поэтому обратился к Бору с критическими соображениями. Это вызвало удивление в аудитории: недоучившийся студент осмелился критиковать коллегу великого ученого. Однако возражения Гейзенберга были уместны, и по окончании беседы Бор предложил ему прогуляться, чтобы продолжить дискуссию. Много лет спустя Гейзенберг вспоминал, что разговор почти сразу перешел к его любимым темам: философским вопросам об атомах, использованию привычных понятий для их описания, а также к тому, что означает «понимание» физических явлений.
Эта прогулка оказала огромное влияние на мою последующую научную карьеру. Возможно, было бы точнее сказать, что мое развитие как ученого началось с этой прогулки.