Это называется особой точкой решения. Математика начинает «чудить», приводит к противоречию с физикой, к невозможному результату: бесконечная скорость, бесконечное, да еще отрицательное давление.
Но часто математический парадокс как бы подает сигнал: здесь не разрыв со здравым смыслом, а разрыв в самой картине явления — ищите резкого изменения формы течения. А происходит вот что: когда давление у самой оси упадет ниже уровня давления среды, воздух из атмосферы засосётся внутрь форсунки через сопловое отверстие и образуется полость — воздушный вихрь радиуса rm , подобие воронки в ванне при сливе воды. Математическое зеркало, даже искривляясь, как бы продолжает своей кривизной отражать реальность.
Теория центробежной форсунки создавалась у нас на глазах, и многие помнят, как возникла неожиданная, трудность: число уравнений в задаче оказалось меньше числа неизвестных — радиус вихря rm стал «лишним», для него не хватило одного уравнения. Проблема зашла в тупик, поскольку было неясно, как вычислить главную величину — расход жидкости. В уравнении
Тогда Г. Н. Абрамович решил: посмотрим структуру неизвестного, и построил зависимость расхода от радиуса rm или, что равносильно, от коэффициента φc (при постоянном давлении подачи). Обнаружилась характерная особенность: при малых rm (толстое колечко) сечение выхода хорошо заполнено жидкостью, зато осевая скорость потока мала и их произведение (расход) мало; при больших rm (тонкое колечко) выходное сечение заполнено плохо, и, хотя скорость велика, расход опять мал. На кривой при каком-то промежуточном значении rm обнаружился четкий максимум: природа как бы сама обращала внимание исследователя на одну особенную точку графика. Интуиция исследователя подсказала Генриху Наумовичу смелый «принцип максимума расхода», отбирающий одно-единственное в целом мире решение; из всех возможных вихрей форсунка избирает такой, что расход жидкости получается наибольшим. Этот принцип позволил замкнуть теорию — интуиция заменила недостающее уравнение.
Опыт подтвердил красивую гипотезу в определенном диапазоне режимов. Был достигнут существенный прогресс. В дальнейшем теория уточнялась и развивалась советскими учеными Л. А. Клячко, В. И. Скобелкиным, В. Б. Тихоновым и другими. Она нашла самое широкое применение в инженерной практике, поскольку позволяет просто вычислять расход жидкости и угол распыливания. Массовый расход в соответствии с уравнением (5) запишется так:
характеристика форсунки, r и п — соответственно радиус и число каналов камеры закручивания.
Геометрическая характеристика оказалась фактором подобия: самые разные форсунки, имеющие одинаковую комбинацию основных размеров А, имеют одинаковые коэффициенты расхода μ и углы распыливания. Теперь общая картина течения в форсунке выглядит так. Поток, попадая из широкой камеры закручивания в узкое сопло, ускоряется — работает уравнение сохранения расхода. Убыстряется и вращение, как у фигуриста, мгновенно сложившего на груди до этого раскинутые руки (уравнение сохранения момента количества движения). Давление жидкости, вышедшей в открытое пространство, должно упасть до атмосферного, центробежное давление — исчезнуть. Но энергия не исчезает. По уравнению Бернулли потенциальная энергия переходит в кинетическую, то есть возрастает скорость истекающей пелены, и она на самом выходе утоньшается. Итак, остроумная догадка о максимуме расхода разрешила трудности и дала законченную теорию явления.
Однако возникает вопрос: как же получилось, что не хватило уравнений и строгую логику пришлось заменить гипотезой? Победителей не судят, но если бы предположение ученого не оправдалось? Быть может, какой-то фактор выпал из рассмотрения, какие-то связи не были учтены? Вопрос законный, серьезный. Для ответа мобилизуем все ту же испытанную связку «опыт—теория». Вглядимся внимательней в явление, вернувшись опять к форсунке. Но теперь приделаем к ней, продолжая выходной канал, длинную прозрачную трубку — сопло из плексигласа. Раньше мы видели поток всегда с тыла или на выходе, сейчас можем взглянуть сбоку. Действительно, в профильной проекции обнаружилось нечто новое: у самого входа в сопло из камеры виднеется крутая ступенька (иногда не одна) — резкое падение толщины жидкого колечка; внезапный рост радиуса вихря rm (рис. 10). Сразу появляется информация к размышлению: что за скачок? Где такое бывает? Поищем аналогии — путь в науке очень полезный. Картотека памяти выдает необычный, запомнившийся образ: ведь это гидравлический прыжок, и возникает он действительно в потоках, сходных с нашим.
Гидравлики подробно изучают течение в открытом русле водослива (например, оросительный канал).
Жидкость там течет под действием силы тяжести — аналог потока с центробежным давлением в форсунке (оно тоже зависит от массы). Интересное это явление — гидравлический прыжок. Плавно ускоряясь, течет под уклон вода в канале по совершенно гладкому дну, уровень меняется медленно, равномерно. Но вот, разогнавшись до какой-то предельной скорости, поток скачком меняет свою высоту, прыгает иногда почти отвесной стенкой, образуя один или несколько горбов-порогов. Потом на уменьшенном уклоне течение снова идет плавно, но уже на другом уровне. Гидравлический прыжок возникает как раз в сечении, где скорость потока w достигает скорости с распространения поверхностных так называемых тяжелых волн *.
* Предположение о равенстве скорости течения жидкости в сопле форсунки скорости распространения тяжелых (центробежных) волн впервые было высказано И. И. Новиковым.
Из теории волнового движения известна простая формула определения скорости распространения волн: c = √gh, здесь g— ускорение под действием силы тяжести, h — высота уровня жидкости.
Перенесем на форсунку это уравнение прыжка. Теперь система уравнений замыкается без каких-либо дополнительных гипотез, поскольку появилось новое соотношение, определяющее радиус вихря, а именно равенство w и с:
Вот оно, потерянное уравнение. Вместе со старыми уравнениями вся система приводит к принципу максимума расхода — теперь он уже не гипотеза, а следствие теории течения в форсунке.
В чем физический смысл условия w = c ? Скорость тяжелых волн с — это скорость передачи импульсов в разгоняющемся потоке. Они передают информацию сверху вниз по течению с помощью бегущей волны жидкости малой амплитуды: «Поток ускоряется, издали меняйте форму течения, постепенно подстраивайте уровень жидкости на всем протяжении пути». Пока сигналы проходят по трассе, движение идет плавно, уровень меняется постепенно. Но вот жидкость к некоторому сечению разогналась до скорости волн — информация уже не опережает потока жидкости, а движется параллельно с потоком, не оставляя времени для перестройки. Потому тесно, «задние напирают на передних», возникает так называемый кризис течения. И вот поток «взбунтовался», встает отвесной стеной, резким уступом, нарушив монотонность процесса. Произошел, естественно, и прыжок скорости, поскольку резко изменилось проходное сечение. Потом, на ином уровне подъема, жидкость успокаивается, и снова течение становится плавным. Значит, в крутящемся потоке нашей форсунки есть критическое сечение, где скорость равна критической, и это сечение в самом начале сопла. Дальше вниз по потоку, что ни делай, расход, формирующийся в истоке, уже не увеличишь, поток перед критическим сечением не перестроишь — туда просто не дойдут никакие импульсы-сигналы.