Неоконченный поиск. Интеллектуальная автобиография

Интересно, что эта, несомненно, смутная (и, как кто-нибудь скажет, «монистическая») идея значимости теории может быть в значительной степени проанализирована и прояснена в чисто логических терминах — с помощью идеи содержания утверждения или теории.

В целом, существуют две интуитивно очень различных, но логически почти тождественных идеи содержания, которые я иногда называл «логическим содержанием» и «информационным содержанием»; специальный случай последнего я также называл «эмпирическим содержанием». Логическое содержание утверждения или теории может быть определено тем, что Тарский называл «классом следствий», то есть классом всех (нетавтологичных) следствий, которые можно вывести из утверждений теории.

Для определения информационного содержания (как я его назвал) нам необходимо рассмотреть интуитивную идею, что утверждения или теории говорят нам тем больше, «чем больше они запрещают» или исключают[18]. Эта интуитивная идея приводит к определению информационного содержания, которое кое-кому показалось абсурдным: информационное содержание теории состоит из множества утверждений, несовместимых с данной теорией[19].

Однако с первого взгляда видно, что элементы этого множества и элементы логического содержания находятся в отношении взаимно однозначного соответствия: каждому элементу из одного множества соответствует элемент из другого, а именно его отрицание.

Отсюда мы видим, что всегда, когда логическая сила, или мощность, или информационный объем теории возрастают или убывают, ее логическое содержание и информационное содержание также возрастают или убывают. Это показывает, что две эти идеи очень сходны между собой: существует взаимно однозначное соответствие между тем, что может быть сказано об одной из них, и тем, что может быть сказано о другой. Таким образом, мое определение информационного содержания оказалось не полностью абсурдным.

Но существуют и два различия. Например, для логического содержания справедлив закон транзитивности: если b является элементом содержания a, a с — элементом содержания b, то с также является элементом содержания а. Несмотря на то, что, конечно же, существует соответствующее правило и для информационного содержания, оно состоит не в простом законе транзитивности, вроде приведенного[20].

Более того, содержание любого (не-тавтологичного) утверждения — скажем, теории t — бесконечно. Представим себе бесконечный список утверждений а, b, с…, которые попарно противоречивы, но из которых по отдельности не следует t. (Для большинства t адекватным для а будет «число планет равно 0», для b «число планет равно 1» и т. д.). Тогда утверждение «t или а, или и t и а» будет логически выводимо из t; то же самое верно относительно b и любого другого утверждения из списка. Из наших допущений относительно a, b, с… можно легко показать, что ни одна из пар в последовательности «t или а, или u t и a», «t или b, или и tub» не является взаимовыводимой; то есть ни одно из этих утверждений логически не следует из другого. Таким образом, логическое содержание t должно быть бесконечным.

Этот элементарный результат, касающийся логического содержания любой нетавтологичной теории, конечно же, хорошо известен. Аргументация здесь тривиальна, поскольку она основана на тривиальной операции с логическим (нестрогим) «или»[21]. Поэтому может возникнуть вопрос, не является ли бесконечность содержания вообще тривиальной проблемой, базирующейся просто на утверждениях типа «t или а, или и t и а», которые появляются в результате тривиального метода ослабления t. Однако в контексте информационного содержания становится ясным, что вопрос не настолько тривиален, как кажется.

Пусть рассматриваемой нами теорией будет теория гравитации Ньютона, назовем ее N. Тогда любое утверждение или любая теория, несовместимые с N, будут принадлежать информационному содержанию N. Назовем теорию гравитации Эйнштейна Е. Поскольку эти две теории несовместимы, каждая принадлежит информационному содержанию другой; каждая из них исключает, или не допускает, или запрещает другую.

Это показывает очень интуитивным образом, что информационное содержание теории t бесконечно в далеко не тривиальном смысле: любая теория, несовместимая с t, а потому и любая будущая теория, которая однажды превзойдет t (скажем, после того, как некий решающий эксперимент выскажется не в пользу t), очевидно принадлежит информационному содержанию t. Но не менее очевидно и то, что мы не можем знать или конструировать эти теории заранее: Ньютон не мог предвидеть Эйнштейна и его последователей.

Конечно, теперь легко обнаружить в точности сходную, но немного менее интуитивную ситуацию, касающуюся логического содержания: поскольку Е принадлежит информационному содержанию N, не-Е принадлежит логическому содержанию N: не-Е выводится из N — факт, который также не мог быть известным ни Ньютону, ни кому-нибудь до того, как была открыта Е.

В своих лекциях я часто описывал эту ситуацию такими словами: мы никогда не знаем, о чем говорим. Потому что когда мы выдвигаем теорию или пытаемся понять теорию, мы также выдвигаем или пытаемся понять ее логические следствия, то есть все те утверждения, которые из нее вытекают. Но это, как мы только что видели, бесполезное занятие: существует бесконечное множество непредсказуемых нетривиальных утверждений, принадлежащих информационному содержанию любой теории, и точно соответствующее ему бесконечное множество утверждений, принадлежащих ее логическому содержанию. Поэтому мы никогда не можем знать или понимать всех следствий любой теории или ее полной значимости.

Этот результат, как мне кажется, является удивительным только до тех пор, пока мы говорим о логическом содержании; но когда речь идет об информационном содержании, он выглядит вполне естественным. (В печатной форме я видел его только однажды[22], хотя и ссылался на него в моих лекциях на протяжении многих лет). Он показывает, помимо всего прочего, что понимание теории — это всегда бесконечный процесс и что в принципе теории могут пониматься каждый раз все лучше. Он также показывает, что если мы хотим понять теорию лучше, то в первую очередь мы должны открыть ее логические взаимоотношения с существующими теориями, которые образуют то, что мы можем назвать «проблемной ситуацией» в определенный момент времени.

Заметим при этом, что мы также пытаемся заглянуть вперед: мы пытаемся открыть новые проблемы, поднятые нашей теорией. Но эта задача бесконечна и никогда не может быть завершена.

Таким образом, выходит, что формулировка, которую я вначале назвал «чисто интуитивной и, быть может, немного сырой» теперь может быть прояснена. Нетривиальная бесконечность содержания теории, как я здесь ее описал, превращает проблему значимости теории в вопрос частично логической и частично исторической природы. Последний аспект зависит от того, что было открыто о содержании теории в определенный момент времени в свете преобладающей проблемной ситуации, что является проекцией этой проблемной ситуации на логическое содержание теории[23].

18

18 Об этой идее и цитату в кавычках см. в главе 6 моей «Логики научного открытия» [1934(b)], с. 13; [1966(e)], с. 15; «Sie sagen umso mehr, je mehr sie verbieten»; а также ее английский перевод [1959(a)] и позднейшие издания, с. 41: «Чем больше они запрещают, тем больше они говорят». Эта идея была принята Рудольфом Карнапом в главе 23 его «Введения в семантику» (Rudolf Carnap Introduction to Semantics. - Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1942); см. особенно c. 151. Там Карнап приписывает эту идею Витгенштейну, «по аберрации памяти», как он сам признается в главе 73 «Логических оснований вероятности» (Rudolf Carnap Logical Foundations of Probability. - Chicago: University of Chicago Press, 1950), c. 406, где он приписывает ее мне. Карнап пишет там: «Утвердительная способность предложения состоит в исключении определенных возможных случаев». Я должен теперь подчеркнуть, что эти «случаи» в науке являются теориями (гипотезами) более высокого или низкого уровня универсальности. (Даже то, что я называл «базовыми утверждениями» в Логике научного открытия, является, как я здесь подчеркнул, гипотезами, хотя и низкой степени универсальности.)

19

19 Подмножество информационного содержания, состоящее из базовых утверждений (эмпирических утверждений), в Логике научного открытия я называл классом «потенциальных фальсификаторов» теории, или ее «эмпирическим содержанием».

20

20 Так как не-a принадлежит информационному содержанию а, в а информационному содержанию не-а, но а не принадлежит своему собственному информационному содержанию (если только оно не самопротиворечиво).

21

21 Доказательство (которое в представленной здесь частной форме было продемонстрировано мне Дэвидом Миллером) достаточно прямолинейно. Утверждение «b или t, или и b, и t» следует из «а или t, или и a, ut» у если и только если оно следует из а; то есть если и только если теория t следует из «а а не-b». Однако поскольку а и b противоречат друг другу (по допущению), последнее утверждение эквивалентно а. Таким образом, «b или t, или ub_yut» следует из «а или t, или а и t», если и только если t следует из а, a это, по предположению, неверно.

22

22 J. W. Н. Watkins, Hobbes System of Ideas (London: Hutchinson, 1965) c. 22 и далее; второе издание, 1973, с. 8 и далее.

23

23 (Это примечание первоначально составляло часть текста.)

Тоже самое может быть сказано, даже если мы ограничимся только одной из двух до сих пор обсуждавшихся идей содержания. Это станет даже еще более ясным, если мы переведем аргументацию в термины третьей идеи содержания, то есть идеи проблемного содержания теории.

Следуя предложению Фреге, введем понятие да-или-нет проблемы или, короче, i/проблемы: для любого предложения а (скажем, «Трава зеленая») соответствующая у-проблема («Зелена ли трава?») может быть записана как «у (а)». Сразу видно, что у(а)= у(не-а): проблема того, является ли трава зеленой, как проблема идентична проблеме, является ли трава не зеленой, даже несмотря на то, что эти два вопроса по-разному сформулированы, и несмотря на то, что ответ «Да» на один вопрос эквивалентен ответу «Нет» на другой.

Мы можем определить то, что я предлагаю назвать проблемным содержанием теории t одним из двух эквивалентных способов: (1) это множество всех тех у(а), для которых а является элементом логического содержания t; (2) это множество всех тех у (а), для которых а является элементом информационного содержания t. Таким образом, проблемное содержание одинаковым образом относится к каждому из двух других видов содержания.

В нашем предыдущем примере с N (теория Ньютона) и Е (теория Эйнштейна) у(Е) принадлежит проблемному содержанию N, a y(N) — проблемному содержанию Е. Если мы обозначим как К (=К₁, иК₂и К₃) утверждение, формулирующее три закона Кеплера, ограниченное задачей с двумя телами, то К₁ и К₂ следуют из N, но противоречат Е, в то время как К₃ и, следовательно, К противоречат и N, и Е. (См. мою работу [1957(i)], [1969(k)], главу 5 [1972(a)], а также [1963(a)], с. 62, примеч. 28.) Тем не менее у(К) и у(К₁)_у у(К₂), у(К₃) все принадлежат проблемному полю и N, и Е, а у(N) и у(Е) обе принадлежат проблемному полю К, К₁,К₂ и К₃ То, что у(Е), проблема истинности или ложности теории Эйнштейна, принадлежит проблемному полю К и проблемному полю Е, иллюстрирует факт, что здесь не может быть транзитивности. Потому что проблема истинности теории оптического эффекта Допплера — то есть y(D)~ принадлежит проблемному содержанию Е, но не N и не К.

Хотя здесь нет транзитивности, здесь может быть связь: можно сказать, что проблемные содержания а и b связаны посредством у (с), если у (с) принадлежит проблемным содержаниям и а, и Ь. Очевидно, что проблемные содержания любых а и b всегда могут быть связаны путем выбора какого-нибудь подходящего с (возможно с=а или b); таким образом, сам по себе факт, что а и b связаны, является тривиальным; однако тот факт, что они связаны некоторой конкретной проблемой у (с) (которая нас по тем или иным причинам интересует), может оказаться не тривиальным и добавить значимости a, b и с. Большинство связей, конечно, не известны в данный период времени.