Придумывание нового типа замощения может показаться странной формой забавы. Для Пенроуза это было упражнением в “развлекательной математике”, хобби, состоящим в исследовании некоторых хорошо известных математических проблем и головоломок. Этим занимаются самые разные люди от начинающих любителей до знаменитых математиков, от молодежи до стариков.
Самым известным автором в жанре развлекательной математики в то время был Мартин Гарднер, который на протяжении двадцати пяти лет вел в Scientific American ежемесячную колонку “Математические игры”.
Статья, которую принес мне Дов, как раз и была колонкой Мартина Гарднера в Scientific American, посвященной замощениям Пенроуза и опубликованной в 1977 году, примерно через три года после изобретения Пенроузом этих замощений. В статье рассказывалось, как Пенроуз обнаружил изящное решение проблемы, над которой много лет бились любители развлекательной математики: можно ли найти такой набор плиток, который покрывает пол без зазоров, причем только непериодически?
Треугольниками можно покрыть пол не периодически, если, например, расположить их в форме спирали, как показано на иллюстрации внизу слева. Однако из треугольников можно также выстроить периодическое замощение, показанное внизу справа. Поэтому треугольники не являются решением поставленной задачи.
Когда-то математики считали, что невозможно найти фигуру или комбинацию фигур, которая будет удовлетворять этим требованиям. Однако в 1964 году математик Роберт Бергер сконструировал корректный пример, в котором использовалось 20426 различных форм плиток. С течением времени другим удалось найти примеры с использованием намного меньшего числа плиток различной формы.
В 1974 году Пенроуз совершил большой прорыв, когда нашел решение задачи с использованием всего двух плиток разной формы, которые он назвал “змеями” и “дротиками” (kites и darts; см. вверху). На каждой из этих плиток нарисована дуга окружности, или “лента”. Пенроуз ввел правило, согласно которому две плитки можно прикладывать друг к другу сторонами, только если ленты на обеих сторонах общего ребра состыковываются. Следование этому “правилу совмещения” не позволяет плиткам складываться в какой-либо регулярно повторяющийся рисунок. Замощение, представленное выше, демонстрирует сложный рисунок, образуемый лентой, когда много змеев и дротиков прикладываются друг к другу в соответствии с пенроузовским правилом совмещения.
В статье Гарднера описывалось множество открытых Пенроузом удивительных особенностей его оригинальных замощений, а также их дополнительные свойства, открытые позднее его другом, математиком Джоном Конвеем из Кембриджского университета.
Конвею принадлежит бессчетное множество результатов в теории чисел, теории групп, теории узлов, теории игр и других фундаментальных областях математики. Например, именно он изобрел игру “Жизнь” – знаменитую математическую модель (так называемый клеточный автомат), где реализуются некоторые аспекты самовоспроизводящихся машин и биологической эволюции.
Когда Пенроуз познакомил Конвея с новыми замощениями, тот пришел в абсолютный восторг. Он немедленно начал вырезать фигуры из бумаги и картона, складывая их и заполняя столы и все остальные поверхности своего жилища различными сочетаниями вырезанных фигур, чтобы изучить их свойства. Статья Гарднера в Scientific American включала многие из важных фактов, обнаруженных Конвеем, что помогло нам с Довом прояснить для себя некоторые на первый взгляд неочевидные свойства пенроузовских замощений.
Читая другие статьи, мы узнали, что точная форма этих плиток неважна, покуда они соединяются друг с другом способом, эквивалентным змеям и дротикам. Версия, которую нам с Довом оказалось проще анализировать, состояла из пары ромбов – широкого и узкого. Именно эти четырехугольники были использованы для создания замощения, изображенного на следующей странице.