Размытые пятна с неидеальным выравниванием были бы уже не столь захватывающими. Они указывали бы на сочетание порядка и беспорядка в расположении атомов, подобно тем структурам, которые мы уже изучали с Дэвидом Нельсоном, а не на новую форму вещества.
Разумеется, мы с Довом надеялись на первый вариант, который свидетельствовал бы о чем-то поистине новом. Мы связались с Маккеем, чтобы расспросить о правилах совмещения и точной математической природе дифракционной картины на его фото, однако у него не нашлось ответов на наши вопросы. По его словам, математика не была его сильной стороной. Поэтому он не знал, как доказать, были ли дифракционные пятна от замощения Пенроуза идеально четкими или расплывчатыми. Он также признался, что у него есть лишь одна фотография, и это было печально, поскольку на снимках всегда есть небольшие искажения. Так что у него не было уверенности относительно дифракционных свойств.
Маккей также сообщил нам, что широкие и узкие ромбоэдры в его статье не были его собственным изобретением. Он позаимствовал их непосредственно из работы одного малоизвестного любителя – Роберта Амманна. Именно тогда мы впервые услышали имя этого загадочного гения, который мало с кем общался, кроме гуру развлекательной математики Мартина Гарднера из Scientific American, к кому Маккей и посоветовал нам обратиться за помощью.
Дов немедленно написал Гарднеру, а тот, в свою очередь, отправил нас к Бранко Грюнбауму и Джеффри Шепарду, которые как раз готовили к выпуску книгу о замощениях, куда вошли некоторые из гениальных изобретений Амманна. От них мы узнали, что Амманн независимо изобрел ромбоидные плитки, похожие на открытые Пенроузом, с правилами совмещения, вынуждающими к образованию симметрии пятого порядка. Что еще поразительнее, он также изобрел другой набор плиток с правилами совмещения, вынуждающими к столь же невозможной симметрии восьмого порядка.
У Амманна не было математического образования, поэтому он не предоставил никаких доказательств того, что его правила совмещения работают, и даже не описал свои результаты в научной статье. Он просто интуитивно знал, что прав.
Гарднер также предоставил нам заметки Амманна, в которых подробно излагались его соображения о строительных блоках с икосаэдрической симметрией. Но и тут не было ни строгих доказательств, ни даже попыток привести убедительные аргументы.
Несколько лет спустя мы с Довом смогли разыскать неуловимого гения в окрестностях Бостона и уговорили его приехать к нам в Филадельфию. Амманн оказался именно таким, каким я его себе и представлял. Он был полон творческих геометрических идей и захватывающих предположений, которые никогда не публиковались, но очень часто оказывались верными. Некоторые из них, как, например, идея ромбоэдров, впервые появившаяся на иллюстрации Маккея, были открыты независимо нами с Довом ценой тяжелого труда и утомительного поиска доказательств. Для Амманна все это было попросту интуитивно очевидно. К сожалению, несколько лет спустя его не стало, так что нам с Довом не довелось больше с ним увидеться.
Самым важным его изобретением, на наш с Довом взгляд, было введение названных его именем полос Амманна – могучего и действенного правила совмещения. На широких и узких ромбах с прямыми сторонами Амманн рисовал набор полосок в соответствии со строгим рецептом, проиллюстрированным пунктирными линиями на рисунке вверху.
Правило совмещения Амманна состоит в том, что две плитки можно соединять между собой только в том случае, если на всех краях, которыми они стыкуются, нанесенные на них полосы продолжают друг друга. Это накладывает того же типа ограничения, что и пенроузовские ленты и замки. Так что на первый взгляд тут нет ничего примечательного.
Однако при более внимательном анализе становится ясно, что полосы Амманна все меняют. Мы с Довом обнаружили, что они выявляют в замощениях Пенроуза нечто такое, чего сам Пенроуз не заметил. И именно это забросило нас с Довом в странный новый мир невозможных симметрий.
Мы видели, что при стыковке плиток в соответствии с правилом совмещения отдельные полосы Амманна соединяются и образуют прямые линии Амманна, которые тянутся через все замощение. Ниже изображено замощение, поверх которого наложена система линий Амманна. Этот массив состоит из пяти наборов параллельных линий, ориентированных под разными углами.