Отношения последовательных чисел Фибоначчи – 2:1, 3:2, 5:3, … – это отношения целых чисел, а значит, они рациональные. Однако знаменитое свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что чем больше становятся целые числа, тем ближе их отношение подходит к золотому сечению. Такова его связь с числами Фибоначчи.
Как оказалось, единственный способ получить такое чередование W и N, которое воспроизводит числа Фибоначчи, состоит в том, чтобы по мере распространения замощения Пенроуза по всем направлениям просветы W повторялись с большей частотой, чем N, в соотношении, в точности равном золотому сечению – иррациональному числу. Если коротко, то именно в этом и состоит секрет замощения Пенроуза.
Последовательность, состоящая из двух элементов, повторяющихся с разными частотами, отношение которых выражается иррациональным числом, называется квазипериодической. Квазипериодическая последовательность никогда не повторяется в точности.
Например, нет таких двух просветов в последовательности Фибоначчи, которые были бы окружены одинаково расположенными наборами просветов с ширинами W и N, хотя в некоторых случаях надо зайти достаточно далеко, чтобы обнаружить различия. То же относится и к плиткам Пенроуза. Отследите замощение достаточно далеко, и вы обнаружите, что никакие две плитки не будут окружены в точности одинаковой конфигурацией других.
Наконец-то мы с Довом поняли, где именно пролегает путь в обход вековых правил Гаюи и Браве. Фундаментальная теорема кристаллографии гласит: если схема расположения плиток или атомов является периодической, повторяющейся с одной определенной частотой, то возможны только некоторые симметрии. В частности, симметрия пятого порядка по любому направлению совершенно невозможна для периодических конфигураций атомов. Тут следует говорить о невозможности первого рода, то есть об абсолютно непреложной истине, подобно тому как 1 + 1 ни при каких условиях не может дать 3.
Однако, когда ученые уверяли целые поколения студентов, что симметрия пятого порядка невозможна ни для какого типа материи, это был уже пример невозможности второго рода – такое утверждение опиралось на допущение, которое не всегда корректно. В данном случае физики и материаловеды безосновательно полагали, что все упорядоченные конфигурации атомов являются периодическими.
Как стало ясно нам с Довом, замощение Пенроуза – это геометрический пример упорядоченной конфигурации, которая не является периодической. Это квазипериодический порядок плиток или атомов, который описывается двумя различными частотами повторения с иррациональным отношением между ними. Это и была наша заветная лазейка. Прежде ученые считали, что атомы в веществе всегда располагаются либо периодически, либо беспорядочно. Они никогда не рассматривали квазипериодические конфигурации.
Если настоящие атомы могли каким-то образом организоваться в структуру, которая повторяется с двумя разными частотами, находящимися в иррациональном соотношении, то получилась бы совершенно новая форма вещества, которая пошатнула бы устоявшиеся правила Гаюи и Браве.
Эта концепция казалась очень простой и вместе с тем невероятно глубокой. Перед нами с Довом словно открылось магическое окно, заглянуть в которое могли только мы.
Я знал, что там, вдали, открывается целое поле потенциальных новых прорывов. И пока все это поле могли исследовать мы и только мы.
Глава 4
История о двух лабораториях
Сами того не подозревая, мы с Довом тогда включились в гонку на время. После того как мы обнаружили, что квазипериодический порядок открывает секрет создания вещества с запрещенными симметриями, мы занялись разработкой теории этой новой формы вещества в естественном для нас темпе.
Мы и подумать не могли, что какой-то другой физик-теоретик решит заняться той же темой. Наш своеобразный подход, вдохновленный развлекательной математикой и замощениями, был слишком нетрадиционным, чтобы его можно было независимо повторить. Мы тогда еще не публиковали своих идей, так что никто не мог оттолкнуться от них и обогнать нас. Это не говоря уже об экспериментаторах, ничего не слышавших о нашей квазикристаллической теории, – разве могли они составить нам конкуренцию? Это казалось невозможным.
Единственное, чего мы не учли, – это случайного, серендипического открытия. Иногда простые эксперименты дают непредвиденные результаты. Если толковый экспериментатор обратит на это внимание, то у него появится шанс совершить научный прорыв. Оказалось, что, пока мы с Довом систематически разрабатывали нашу радикальную теорию, никому не известный ученый по имени Дэн Шехтман, работавший в лаборатории менее чем в 250 километрах от нас, случайно столкнулся с бессмысленными на первый взгляд результатами одного эксперимента.