Жизнь без ноля
Проблема с нолем заключается в том, что мы не нуждаемся в нем в повседневной жизни. Никто не отправляется на рынок, чтобы купить ноль рыб. В определенной мере это наиболее цивилизованная из основ, и ее использование было навязано нам только потребностями разработанных моделей мышления.
Современному человеку трудно представить себе жизнь без ноля, как трудно представить жизнь без чисел 7 или 31. Тем не менее было время, когда ноля не существовало — как не существовало и этих чисел. Дело было еще в доисторические времена, так что палеонтологам пришлось собирать по кусочкам историю рождения математики, изучая осколки камней и кости. По этим фрагментам они узнали, что математики каменного века были более неприхотливы, чем современные. Вместо грифельной доски они использовали… волков.
Ключ к математике каменного века был найден при раскопках в Чехословакии в конце 1930-х годов археологом Карлом Абсаломом. Он нашел волчью кость с серией насечек; кости было тридцать тысяч лет. Никто не знает, использовал ли ее первобытный человек, чтобы сосчитать, сколько он убил оленей, сколько рисунков сделал или сколько дней не мылся, однако совершенно ясно, что древние люди что-то подсчитывали.
Волчья кость была в каменном веке эквивалентом суперкомпьютера. Предки нашего первобытного математика не могли сосчитать даже до двух, а уж ноль им точно не требовался. На самых начальных этапах люди могли различать только «один» и «много». Первобытный человек владел одним копьем или несколькими; он съедал одну убитую ящерицу или многих. Не было никакой возможности показать другие количества между «один» и «много». С течением времени примитивные языки развились достаточно, чтобы различать «один», «два» и «много», а потом и «один», «два», «три» и «много», но названий для бо́льших чисел еще не было. Некоторые языки все еще имеют такое ограничение. Индейцы сирионо в Боливии и бразильские индейцы яномамо не имеют названий для чисел больше трех, вместо этого они говорят «несколько» или «много».
Сама природа чисел такова, что их можно складывать друг с другом, получая новые, так что система не остановилась на трех. Через некоторое время умные члены племени начали нанизывать числа-слова в ряд, чтобы получить бо́льшие числа. Современные языки народностей бакайри и бороро в Бразилии демонстрируют этот процесс в действии. Их система чисел выглядит так: «один», «два», «два и один», «два и два», «два и два и один» и так далее. Эти люди считают двойками. Математики называют такую систему бинарной.
Немногие народы считают двойками, как бакайри и бороро. Старая волчья кость несет на себе более типичную древнюю систему счета. Кость имеет пятьдесят пять маленьких насечек, объединенных в группы по пять; после первых двадцати пяти отметок имеется еще одна насечка. Очень похоже на то, что наш первобытный человек считал пятерками, а потом сгруппировал пятерки по пять. В этом есть здравый смысл. Гораздо быстрее подсчитывать значки, объединенные в группы, чем пересчитывать их по одному. Современные математики сказали бы, что резчик по волчьей кости использовал основанную на цифре 5, или пятеричную, систему счета.
Но почему именно на цифре 5? В конце концов это произвольное решение. Если бы первобытный человек объединил значки в группы по четыре и считал более крупными единицами, равными 16, или в группы по шесть и равными 36, его система счета работала бы также хорошо. Группировка не влияет на число насечек на кости, она отражается только на том, как резчик их объединил. Окончательный ответ был бы получен один и тот же, как бы ни считать значки. Однако наш первобытный человек предпочел считать группами по пять, а не по четыре, и такое предпочтение разделяли люди по всему миру. Природа случайно дала человеку по пять пальцев на каждой руке, и из-за этой случайности пятерка оказалась излюбленной основой системы счета во многих культурах. Древние греки, например, использовали термин «пятерение» для описания процесса подсчета.
Даже в южноамериканских двоичных системах счета лингвисты усматривают начала пятеричной системы. Другое название на языке бороро для числа «два и два и один» — «это моя рука целиком». Ясно, что древние люди предпочитали считать, используя части своего тела, и «пять» (одна рука), «десять» (две руки) и «двадцать» (обе руки и обе ноги) были для этого излюбленными объектами. Английские слова eleven и twelve произошли, вероятно, от one over (ten) и two over (ten), «один сверх (десяти)» и «два сверх (десяти)», как, по-видимому, и русские «одиннадцать» и «двенадцать» произошли от «один над десятью» и «два над десятью». Английские «тринадцать», «четырнадцать», «пятнадцать» и так далее, скорее всего, сокращения фраз «три и десять», «четыре и десять», «пять и десять». Исходя из этого, лингвисты заключают, что «десять» являлось базовой единицей в германских праязыках, от которых произошел английский, поэтому люди использовали основанную на десятке числовую систему. С другой стороны, по-французски «восемьдесят» — это quatre-vingts, то есть «четыре двадцатки», а «девяносто» — quatre-vingt-dix («четыре двадцатки и десять»). Может показаться, что люди, жившие там, где теперь расположена Франция, использовали как основу число 20 — это была двадцатеричная система. Такие числа, как 7 и 31, принадлежат ко всем системам — и пятеричной, и десятеричной, и двадцатеричной. Однако ни одна из них не имела названия для ноля. Такого понятия просто не существовало.