18
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ начальное дело абстракции, которая в ее подлинно научном проявлении идет значительно дальше того, что можно извлечь из данных опыта. Тезис, что познание через абстракцию искажает (огрубляет) реальность, наталкивается на возражение, что подлинные интересы познания устремлены, как правило, «по ту сторону» наличного опыта к инвариантному «существу дела», представленному в абстракции. Сам по себе чистый акт отвлечения только предваряет поиск таких инвариантов, маскируя дальнейший нетривиальный процесс мысленного анализа отношений между абстракцией и реальО ностью. По-видимому, нет области знания, где абстракция не служила бы рациональной основой познания, хотя в различных областях применяемые абстракции и особенности их использования, конечно, различны. Самой развитой системой абстракций обладает математика, которая по существу является наукой об абстракциях. Естествознание в той мере, в какой оно пользуется математикой, заимствует из ее абстракций, добавляя к заимствованным и свои. Но вместе с тем существуют и общенаучные абстракции, необходимые как на первых шагах образования понятий, так и на всех уровнях формирования знаний о природной и общественной жизни. Вот почему абстракции — это не «строительные леса», которые после постройки какой- либо отрасли знания можно и даже нужно отбросить. Это не только форма, но и сама суть науки. Лит.: Мировоззренческие и методологические проблемы научной абстракции. М., 1960; Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961; Розов М. А. Научная абстракция и ее виды. Новосибирск, 1965; Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. М., 1967; Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М., 1972; Лазарев Ф. В. О природе научных абстракций. М., 1971; Он же. Абстракция и реальность.— «Вестник МГУ», 1974; № 5; Виленкин Н. Я., трейдер Ю. А. Понятие математики и объектов науки.— «ВД», 1974, № 2; Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очерк истории и теории. М., 1984; Новосёлов M. М. Об абстракциях неразличимости, индивидуации и постоянства. — В кн.: Творческая природа научного познания, М., 1984; Он же. Абстракция и научный метод. — В кн.: Актуальные вопросы логики научного познания. М., 1987; Schneider H. J. Historische und systematische Unteisuchungenz ur Abstraction. Erlangen, 1970; VuilleminJ. La logique et le monde sensiable. Etude sur les theories contemporaines de l'abstraction. P., 1971; Logic and abstraction. Goteborg, 1986; Pollard St. What is abstraction? - «Nous», 1987, vol. 21, N 2; RoeperR Principles of abstraction for events and processes. - «J. of philos. Logic», 1987, vol. 16, N3. M. M. Новосёлов
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ- основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого- либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определенного типа, — абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат —множество (совокупность) всех порожденных им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинают трактовать в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения натуральных чисел 0, 1,2, .., в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — натуральному ряду, который в дальнейшем выступает в качестве наличного объекта, равноправного с составляющими его числами. В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия множества как отдельного абстрактного понятия. В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это создает определенные методологические трудности, в частности трудности истолкования суждений о возникающих в результате такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» полученных с применением абстракции актуальной бесконечности объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда абстракция актуальной бесконечности применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие абстракции актуальной бесконечности ведет к обоснованию классической аристотелевской логики, и в частности исключенного третьего закона. Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет в канторовской «архитектурной программе для математики», предусматривающей построение математики в виде надстройки над созданной им множеств теорией (точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении о множествах). Согласно этой программе, получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект рассматривается как множество, удовлетворяющее определенному условию, и это обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности основным в рамках данного подхода объектообразую- щим фактором. Однако в связи с упоминавшимися выше труд-ностями неограниченное ее применение в качестве право-мерного средства образования математических понятий неоднократно вызывало возражения со стороны ряда вьшающихся математиков (К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Д. Гильберт, Г, Вейлъ и др.). Альтернативные по отношению к канторовской программы построения математики на базе использования одной лишь абстракции потенциальной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэром (см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см. Конструктивное направление). Без использования абстракции актуальной бесконечности обходится также и доказательств теория Д. Гильберта. Лит.: Бесконечность в математике (А. Н. Колмогоров). - БСЭ, т. 3. М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Марков А. А. О конструктивной математике. - Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 67. М.~Л., 1962; Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. — В кн.: Он же. Труды по теории множеств. М., 1985. Н. М. Нагорный